动力系统是非线性科学的重要组成部分,它研究自然现象随时间演变的极限行为.经过Poincare, Lyapunov, Birkhoff等人的奠基性工作,动力系统已发展成为现代数学所研究的的重要分支之一在动力系统的研究中,熵不仅是系统复杂程度的一种重要的描述方式,而且也是到目前为止对动力系统分类的一种最重要的非负数值不变量.因此,有关熵的理论在动力系统所包括的这些领域中占据着重要的地位,同时也是人们研究的热点问题.熵的概念最初是由物理学家Clausius提出的,19世纪中叶,Clausius用熵的概念表述了热力学第二定律.在Clausius和Maxwell工作的基础上,1948年“热力学之父”Shannon首次将热力学熵的概念引入信息论,作为信息论的基本量,用以描述不确定性的大小,并给出了计算信息熵的公式.1958年,为解决遍历论的一些经典问题,Kolmogorov借鉴Shannon的思想将熵的概念引入到遍历论中.20世纪60年代中期,为了研究拓扑动力系统Adler, Konhelm和McAndrew参考测度熵的定义,对紧致空间上的连续映射应用开覆盖的方法引进了拓扑熵的概念.1971年Bowen对度量空间上的一致连续映射采用生成集和分离集定义了拓扑熵,并且证明了对于紧致系统而言,开覆盖与生成集和分离集两种拓扑熵定义是等价的.从而,人们对拓扑熵所揭示的动力学内涵有了更清晰直观的理解.后来,在1996年,Kolyada和Snoha在文献中给出了时变(非自治)动力系统的拓扑熵定义,他们也是分别用开覆盖与分离集和张成集给出两种定义,并且证明了对于紧致拓扑动力系统而言,两种拓扑熵定义是等价的.拓扑熵是迄今为止发现的唯一的非负数值拓扑共轭不变量.每一个紧致系统都有一个确定的拓扑熵.它被认为连续映射作用在底空间上引起的运动的混乱程度的一种度量.估计和计算紧致系统的拓扑熵是动力系统理论中个非常重要的研究课题.目前,关于拓扑熵的估计问题已有了一些很好的结果.如,在1969年,Goodwyn证明了紧致度量空间上的连续映射的拓扑熵大于等于它的Borel不变测度熵.1970年,Bowen研究拓扑熵的估计,得到了一系列的结果：他证明了紧致度量空间上连续映射的拓扑熵等于其限制在其非游荡集上的拓扑熵；还给出了关于紧致度量空间上扩张的同胚映射的拓扑熵估计；并且得到了光滑紧致流形上同胚映射的拓扑熵估计[32].同年,Ito给出了n维紧致黎曼流形上微分同胚的拓扑熵上界[34].1971,年Bowen给出了n维紧致黎曼流形上C1映射拓扑熵的上界估计,包含了Ito的结果[40].同年,Goodman给出了联系拓扑熵与测度熵的重要结果-变分原理[38].后来,Dinaburg给出了有限维空间上微分同胚的变分原理[42].1975年,Manning给出了紧致连通的光滑流形上连续映射的拓扑熵的下界[41]Misiurewicz和Przytycki给出了拓扑熵和光滑映射的度之间的关系[43].对于紧致区间上的连续映射,也有很好的结果,如Block,Guckenheimer, Misiurewicz和Young证明了A-耦合扩张的连续区间映射的拓扑熵是不小于矩阵A的最大特征值的对数值等等.1975年,Li与Yorke在文献[12]中研究了连续区间映射,得到了一个著名的结果：“周期3蕴含混沌”.在此他们第一次提出了混沌的概念.此后关于动力系统混沌的研究一直吸引着许多科学家和数学家的兴趣.混沌是非线性科学研究中的重要内容之,是非线性动力系统的固有特性,也是非线性系统普遍存在的现象.一般而言,混沌是指发生在确定性系统中,不需附加任何随机因素亦可出现的类似随机的动力学行为.混沌系统的最大特点就是系统的演变过程对初始条件非常敏感.因此从长期意义上讲,系统的未来行为是不可预测的.后来,出于对问题的研究角度的不同,人们逐渐提出了一些新的混沌定义,比如Devaney混沌[14],Wiggins昆沌[4,35]等等.人们开始研究满足什么条件的映射是在Li-Yorke或者Devaney意义下混沌的,即建立某种意义下混沌的判定定理.在自治离散系统中,已经有了很多好的结果.如,对于连续区间映射,正的拓扑嫡能够导致Li-Yorke意义下混沌；拓扑传递性可以导致Devaney意义下混沌;在特定条件下,零拓扑熵可以导致Li-Yorke意义下混沌[37].最近,对于紧致空间上的连续的满射,Blanchard等人证明了正的拓扑熵可导致Li-Yorke意义下混沌[21].耦合扩张映射,亦称马蹄映射,是判断动力系统是混沌系统的有力工具之一.1992年Block与Coppel在区间映射中引入turbulence的概念,并详细讨论了这种映射与拓扑熵,符号动力系统,周期点,混沌等诸多概念之间的联系,并证明了如果一个连续区间映射是严格turbulent的,那么该映射在一个紧子集上拓扑半共轭于单边符号动力系统.因此该映射在Devaney和Li-Yorke意义下混沌[1,21].2004年,史玉明和陈关荣证明了完备度量空间中有界闭集或度量空间紧子集上的严格耦合扩张映射在距离扩张的条件下与单边符号动力系统拓扑共轭[45].2006年,他们把turbulence的概念推广到一般的度量空间中[8].为避免与流体力学常用词汇“湍流”(即turbulence)相混淆,他们将其改名为耦合扩张映射.之后,史玉明等人建立了一系列的由映射的耦合扩张性导致混沌的判定定理.2006年史玉明和郁培建立了完备度量空间中有界闭集上的耦合扩张混沌判定定理[7].2009年,史玉明等人将这个概念推广到了关于转移矩阵的耦合扩张,并证明了在度量空间中紧子集上的严格A-耦合扩张映射,如果映射在每个紧子集上按距离扩张,则映射是在Li-Yorke和Devaney意义下混沌的；定义在完备度量空间的非空有界闭集上的,满足特定条件下的严格A-耦合扩张映射是在Li-Yorke和Devaney意义下混沌的[6].2010年,张旭和史玉明又给出了完备度量空间的非空有界闭集上的A-耦合扩张映射新的混沌判定准则,他们减弱了之前已有结果中某些条件,分别得到了在某些条件下映射是Li-Yorke和Devaney意义下混沌与映射是Li-Yorke和Wiggins意义下混沌的两个判别准则[9].2011年,张旭,史玉明和陈关荣对A-耦合扩张映射的C1扰动问题进行了研究,得到了在某些条件下,A-耦合扩张映射经过C1小扰动之后仍然是Li-Yorke和Devaney意义下混沌的,并且证明了A-耦合扩张映射在它的混沌不变集上是C1结构稳定的[19].时变离散系统常见于许多现实问题中,生物和经济中的很多问题都可以用时变系统的特殊情形-周期系统来刻划[50-53].但为了研究问题的方便,并且受科学自身发展的限制,经常将时变系统近似为自治系统进行研究.由于时变离散系统是由一个映射按一定顺序迭代而成的,而自治系统只涉及到-个映射的复合,所以时变系统的动力学行为比自治系统要复杂得多,研究起来也困难得多.目前关于时变离散系统的混沌理论的研究成果并不多[5,10,15,20,46,47,48,49].2006年,田传俊和陈关荣研究了在同一度量空间上映射族在迭代方式和逐次方式下的动力学行为,推广了自治离散系统Devaney意义下的混沌概念[49].2009年,史玉明和陈关荣将自治离散系统混沌的概念推广到时变离散系统,建立了有限维线性时变系统在Li-Yorke意义下混沌的判定定理,并把严格A-耦合扩张理论推广到了时变系统,证明了在完备度量空间的非空有界闭集上满足一定条件下的耦合扩张的时变系统是在强Li-Yorke意义下混沌的[5].2011年,张丽娟和史玉明得到了一类特殊的不可约转移矩阵的耦合扩张导致时变系统强Li-Yorke意义下混沌的判定定理[17].最近,史玉明引入了时变离散系统子系统的概念,并详细讨论了原系统与子系统混沌动力学性质之间的关系[10].在[48]中,史玉明等人进一步深入研究了周期离散动力系统的混沌问题,得到了周期系统在Devaney和强Li-Yorke意义下混沌的判定定理,并且还给出了系统不混沌的充分条件.本文主要研究了时变(非自治)离散动力系统的拓扑熵上下界的估计问题和严格A-耦合扩张系统在何条件下是强Li-Yorke意义下混沌的问题.针对这两方面的问题,本文由三章组成,主要内容如下：第一章简单介绍动力系统混沌理论的研究进展,给出一些预备知识,其中包括自治离散动力系统和时变离散动力系统中的一些基本概念,拓扑熵的基本概念以及符号动力系统与耦合扩张的基本理论.第二章研究时变离散动力系统拓扑熵界的估计问题.首先讨论定义在紧致度量空间上,并且在互不相交的非空闭子集上严格A-耦合扩张的时变离散动力系统拓扑熵的下界估计,证明了时变系统的拓扑熵不小于矩阵A的谱半径的对数,这个结果将Block等人在区间映射上的结果推广到了度量空间上的时变系统中[1].其次研究定义在有限维欧氏空间中紧子集上的时变离散系统拓扑熵的上界估计,证明了如果映射序列满足一致李卜西兹条件,那么时变系统的拓扑熵不大于李卜西兹常数的对数与欧氏空间维数的乘积.这个结果涵盖了Denker等人在区间映射上的结果[23].在第三章中,我们主要讨论严格A-耦合扩张的时变离散动力系统在什么条件下可以导致混沌,其中A是不可约转移矩阵且某一行(或某一列)元素之和不小于2.本章分为五小节.在前人工作的基础上,我们在3.3节定理3.3.1中得到了关于完备度量空间上的严格A-耦合扩张系统是强Li-Yorke意义下混沌的一个新的判定准则,将文[9]中的某些结果推广到了时变离散动力系统中,并且弱化了[5]和[17]中混沌判定定理的条件.应用定理3.3.1我们得到了一类特殊的不可约转移矩阵的耦合扩张导致时变系统强Li-Yorke意义下混沌的判定定理.在3.4节,我们研究了定义在度量空间紧子集上的严格A-耦合扩张时变系统在强Li-Yorke意义下混沌的判定,建立了三个新的混沌判定定理,其中一个定理将文[6]中关于自治系统的某些结果推广到了时变系统.我们在3.5节给出了一个关于时变logistic系统的例子.