本论文的主要工作是：一．利用简单同余法、分解因子法等初等方法，给出了方程2py²=2x³+3x²+x无正整数解的条件。二．讨论了四类方程Dx²+1=y^p（p≥5且p为素数，D=31，47，71，79）非零整数解的问题，得出1．当p=5时，即Dx²+1=y⁵ （1）1)．如果2|y，若方程（1）有非零解，则y＞20D+1；2)．如果2|y，当D=31，71时，若方程（1）有非零解，则分别有y≡2，8（mod31），y≡5，25（mod71）；当D=47，79时，则方程（1）无非零解；2．当p＞5时，方程Dx²+1=y^p在D取值31，47，71（p≠7），79（p≠13）时无非零整数解。三．考虑了关于方程x²-2p=yⁿ的求解问题，给出当Q[（2P）^1／2]的类数为1，2p-1=3t时，则1．若n=3，方程无解。2．存在某一大于等于2的整数α₁，当t≡1(mod2^α₁+1)，n≡3(mod2^α₁+1)时，方程无解。