本文研究了两大类偏微分方程的高阶数值方法,其中一类为具有奇性解的微分-积分方程和分数阶微分方程,另一类为具有梯度流结构的偏微分方程。论文大致分为两大相对独立的部分,前半部分针对一类微分-积分方程和分数阶微分方程,构造并分析了基于Muntz多项式逼近的高效谱方法;后半部分针对几个经典的梯度流方程,基于拓展的辅助变量法构造并分析了无条件稳定的时间离散格式。论文主要内容包含在下面几个章节中:第一章,介绍与本文研究密切相关的背景和研究现状,陈述本文的研究动机和主要内容,并给出本文所需的部分预备知识。第二章,首先给出Miintz Jacobi正交多项式的定义,讨论该多项式的基本性质。然后研究Muntz Jacobi多项式的逼近性质,特别是分析了加权投影算子和插值算子的基本逼近性质。第三章,首先在第一节提出和分析了一类积分微分方程和经典Possion方程的高效Miintz谱方法,给出了收敛结果的证明。收敛性分析结构显示:尽管精确解在边界处可能有奇性,只要选择适当的参数就能保证数值解的谱收敛。本节最后给出的数值算例验证了理论结果的正确性。在第二节我们考虑一类时间分数阶扩散方程,构造了一个Muntz谱方法,即基于Galerkin或Petrov-Galerkin弱形式和Muntz多项式逼近空间的谱方法。理论分析和数值研究表明:对于一般的右端项,数值解具有指数收敛。准确地说,基于Galerkin框架的算法分析和数值算例显示:只要取得合适的参数,数值格式就具有指数收敛。基于Petrov-Galerkin框架的Muntz谱方法尽管没有理论证明,但数值例子显示它具有与G alerkin方法相同的精度。在本章的最后一节,我们设计和分析了一类带弱奇异核的Volterra积分方程的Muntz谱配置点方法,推导了数值解的L∞-和带权L2-误差估计。相比已有方法,我们的方法对Volterra积分方程的典型解具有更高的收敛阶。第四章,考虑具有梯度流结构的一类偏微分方程,提出了一个拓展的标量辅助变量法(Scalar Auxiliary Variable,即SAV),并借此构造了无条件稳定的时间离散格式。新方法的有效性在于将梯度流方程分解成几个非耦合的常系数Possion方程,后者可以用已有的任何快速算法求解。我们严格证明了所构造时间格式的无条件稳定性,并通过一系列数值试验验证了理论结果的正确性和算法的有效性。新方法是传统SAV方法的拓展。通过引入一个含参数的附加项,新方法不仅涵盖了传统的SAV,还放松了传统的SAV施加在自由能上的假设:即传统的SAV要求自由能的非线性部分有下界,而新的方法只需假设总的自由能或部分自由能有下界。后者更具有物理合理性,对梯度流模型有更广的适应性。