复杂网络的研究已经成为数学、物理、生物和社会科学等众多领域的共同焦点,而许多复杂网络的动态行为可以由网络上的耦合系统描述。因此,众多领域的研究学者都对网络上耦合系统的研究感兴趣。但是,有很少的学者研究多种噪声干扰下的随机耦合系统和带有多个扩散的耦合系统。另外,稳定性和同步性都是耦合系统的非常重要的性质。因此,有关白噪声、电报噪声或L′evy噪声干扰下随机耦合系统和带有多个扩散的耦合系统的稳定性和同步性研究是非常新颖的课题。本文基于图论方法,并结合稳定性理论和同步性理论研究多种噪声干扰下的随机耦合系统的稳定性和同步性及带有多个扩散的耦合系统的稳定性。论文研究内容包括以下几个方面:第一,基于图论方法研究随机耦合Van der Pol振子的有界性。结合图论方法和顶点系统的Lyapunov函数构造随机耦合Van der Pol振子的全局Lyapunov函数,进而由有界性理论给出随机耦合Van der Pol振子的有界性准则。结果表明:在适当的白噪声干扰下,通过调整振子网络可以使得随机耦合Van der Pol振子有界;第二,基于图论方法研究带时变延迟的中立型随机耦合振子的稳定性。结合图论方法、随机微分方程的稳定性理论和泛函微分方程理论研究白噪声干扰下的中立型随机耦合振子,得到耦合振子的矩指数稳定性准则和几乎确定稳定性准则。结果表明:基于图论方法可以有效地研究中立型随机耦合振子的稳定性,且该稳定性分析方法可用于研究其它中立型随机耦合系统的稳定性;第三,基于图论方法研究L′evy噪声干扰的随机耦合系统的稳定性。基于图论方法和随机微分方程的稳定性理论,研究L′evy噪声干扰的随机耦合系统,得到矩指数稳定性准则和依概率稳定性准则。所得理论结果被应用于L′evy噪声干扰的随机耦合振子和L′evy噪声干扰的随机Volterra捕食者–食饵模型的稳定性研究中,得到相应的稳定性准则。结果表明:基于图论方法可以研究L′evy噪声干扰的随机耦合系统,在适当的噪声强度和耦合强度下,L′evy噪声干扰的随机耦合系统仍然是稳定的;第四,基于图论方法研究白噪声和电报噪声同时干扰的随机耦合系统的同步性。结合图论方法、同步性理论、M-矩阵理论和状态反馈控制技巧,得到随机驱动–响应耦合系统的矩指数同步性准则和几乎确定指数同步性准则。并将理论结果用于研究白噪声和电报噪声同时干扰的随机Cohen-Grossberg神经网络的同步性,得到相应的同步性准则。结论表明:基于图论方法可以研究白噪声和电报噪声同时干扰的耦合系统的同步性,且所得的同步性准则与网络拓扑性质和Markov链的生成矩阵息息相关;第五,基于图论方法研究带有多个扩散的耦合系统的稳定性。将基于单图建立的图论方法推广到多图情形,并用得到的多图理论研究带有多个扩散的耦合系统的稳定性。所得理论结果被用于研究捕食者与食饵都扩散的多斑块捕食者–食饵模型和耦合振子,得到相应的稳定性准则。结论表明:当耦合系统中出现多个扩散网络时,用图论方法研究该耦合系统的稳定性更加有效。