【摘 要】
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Erdos和Moser的一个开放性的猜想为：丢番图方程1n+2n+…+kn=（k+1）n的唯一解是一个平凡解：k=2,n=1.首先,本文在3|k的条件下,证明了Jonathan Sondow和Kieren MacMillan提出的一个猜想：如果1n+2n+…+κn（?）（κ+1）n（modκ2）,则对任意的素数p|k,有其次对高阶同余方程1n+2n+…+κn（?）（κ+1）n（modκ3）的解给出
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Erdos和Moser的一个开放性的猜想为：丢番图方程1n+2n+…+kn=（k+1）n的唯一解是一个平凡解：k=2,n=1.首先,本文在3|k的条件下,证明了Jonathan Sondow和Kieren MacMillan提出的一个猜想：如果1n+2n+…+κn（?）（κ+1）n（modκ2）,则对任意的素数p|k,有其次对高阶同余方程1n+2n+…+κn（?）（κ+1）n（modκ3）的解给出了一些结论并作证明：当n=1时,高阶同余式1n+2n+…+κn（?）（κ+1）n（modκ3）成立当且仅当k=1或2；当n=2时,高阶同余式1n+2n+…+κn（?）（κ+1）n（modκ3）成立当且仅当k=1；当n≥3且为奇数时,1n+2n+…+κn（?）（κ+1）n（modκ3）成立当且仅当k=1；最后,当n≥4且为偶数时,1n+2n+…+κn（?）（κ+1）n（modκ2）（2|κ且3|k）成立,则对任意的素数p|k,有（i）n三0（mod（p-1））,整篇文章的证明用到了方幂和的可除性,Lerch的关于Fermat商及Wilson商的关系,Bernoulli数和Bernoulli多项式的一些性质.
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