【摘 要】
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相依关系普遍存在于事物之间,探究其中的关联关系是相关性分析的任务所在.从概率统计的角度来说,联合分布蕴涵了研究对象的信息.Copula理论将多变量的联合分布拆分成一元边际分布和连接它们的Copula函数,这为表达灵活复杂的多元联合分布特征提供了合适的工具,也使得Copula函数在构造非线性相依度量中具有重要的地位,并被广泛应用于经济、金融等各个领域.本文借助于Copula函数,分别针对随机变量间的
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相依关系普遍存在于事物之间,探究其中的关联关系是相关性分析的任务所在.从概率统计的角度来说,联合分布蕴涵了研究对象的信息.Copula理论将多变量的联合分布拆分成一元边际分布和连接它们的Copula函数,这为表达灵活复杂的多元联合分布特征提供了合适的工具,也使得Copula函数在构造非线性相依度量中具有重要的地位,并被广泛应用于经济、金融等各个领域.本文借助于Copula函数,分别针对随机变量间的相依关系、随机向量间的相依关系及尾部相依关系,构造行之有效的度量指标,来检验、量化和分析对应关联结构中的相依性和相依程度.通过将概率密度函数推广至相应变量或向量所诱导的概率测度关于一个σ-有限测度的Radon-Nikodym导数,本文利用Copula函数的广义密度提出了本质相依散度的概念.它是Kullback-Leibler散度的特例,反映了联合密度与独立密度之间的差异.用它来刻画一组随机变量在不同分组下的组间本质相依关系,克服了原有线性相关分析方法描述相依结构的不适应性.实例应用说明本质相依散度可以用于描述连续、离散和混合分布下的相依关系,并且可以捕获和衡量诸如MTP2,POD等的相联关系强度.Spearman ρ和Kendallτ是度量连续型随机变量相依性的经典秩相关系数.Copula理论将其作为Copula函数的泛函给出了明确的表达.基于它们在连续情形下的表达式,将它们分别推广到一般情形.三项分布的例子研究了广义ρ和τ随分布参数变化的规律,并指出在某些方面二者比Pearson相关系数更加合理.基于Spearman ρ和Kendall τ,两个新的相依度量κ,ι及其估计量渐近分布被构建.数值模拟的结果表明融合了传统相关系数的数量关系和理论形式的κ在独立性检验的统计推断中表现更好.以上均是关于两个随机变量之间的相依性度量指标.进一步地,本文提出ρ-系数和τ-系数用于度量和检验多个随机向量间的关联关系.一组纳斯达克股票投资组合收益率的关联性实例分析表明ρ-系数和τ-系数对正负关联性的判别是一致的.结合这两个关联系数在独立性假设检验的模拟实验中给出的较好经验势函数,综合阐明了其稳健和有效性.尾部相依性是分析金融市场风险的重要考量因素.为此,引入尾部条件,即随机变量大于相应给定概率水平下的分位数,讨论在该尾部条件下的ρ-矩阵和τ-矩阵的总体性质及其中元素（分别称为Spearman风险系数和Kendall风险系数）的非参数估计和大样本性质.数值模拟和实例分析的研究结果说明,相较于离散程度较大的Spearman风险系数,取值平稳、无需分布假设的Kendall风险系数是量化尾部相依程度较为理想的工具.
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