力学与物理学研究及应用通常涉及波在多种复杂介质的传播、吸收与散射特性等问题。这些问题通常可由具有时空耦合,非线性,高维度,高阶导数,分数阶导数等不同特征的波动方程进行定量描述。长期以来,针对具有这些复杂特征的波动方程的高精度、高效率普适求解与分析一直是力学与物理等领域学者非常感兴趣,但仍未有效解决的重要研究课题。针对这一课题,本学位论文通过采用作为先进数学工具的小波理论,在学者们已针对边值问题提出的高精度小波算法的基础上,成功建立了求解含有强非线性,高阶空间导数,与具有时间记忆及弱奇异特性分数阶导数波动方程的有效方法;给出了所构建方法求解精度和收敛速度等特性的定量表征;并将其应用于具有不同特征粘弹性结构的动力学分析中,得到了较已有方法更为高效和精确的定量结果。具体的创新结果如下:（1）针对无时间记忆特性非线性整数阶波动方程的求解,建立了一种6阶精度时空完全解耦小波积分配点方法。空间离散化生成的矩阵不需要在时间积分中更新,从而可以实现空间离散化和时间离散化的完全解耦。通过数值求解几个广泛考虑的几种非线性基准问题,本方法与空间相关的收敛速度总是大约为6阶,它与函数的直接逼近处于同一阶。这一事实意味着所提出方法的准确性几乎与方程的阶数和非线性无关。（2）针对具有弱奇异特征的各种非线性分数阶波动方程的求解,建立了一种高精度的小波显式方法。通过使用拉普拉斯变换技术,将原始分数阶波动方程转换为与光滑时间核和未知函数的空间导数相关的时间Volterra型积分-微分方程。然后,为了求解变换后的非线性积分-微分方程,建立了基于配点法和所提出的积分逼近算法的显式求解过程。最终非线性分数波动方程可以很容易和准确地求解。结果表明,所提出的方法可以成功地避免与分数阶导数相关的奇异性处理困难。与现有的其他方法相比,该方法不仅具有高阶精度的优点,而且甚至不需要对时间离散化后的非线性空间系统进行求解即可获得数值解,从而降低了存储和计算成本。（3）将本文建立的高精度小波方法,应用于具有记忆特征的粘弹性材料结构的动力学问题。提供了定量求解这类问题的技术,得到了较已有方法更为高效和精确的结果。研究了粘弹性材料的动力学特性,分析粘弹性阻尼材料动态性能的内在规律,为阻尼材料的研究、开发和性能预测提供理论依据。此外考虑几何非线性,变截面的因素,研究了粘弹性材料构成的悬臂梁在组合荷载作用下的大挠度问题,为粘弹性材料在现代工程上的应用提供了理论依据。通过对各种类型非线性波动方程的高精度和高效率的求解,证明了本文建立求解含有强非线性,高阶空间导数,与具有时间记忆及弱奇异特性分数阶导数波动方程的小波方法的有效性。显示了我们提出方法与其他方法相比具有较高的精度和收敛阶数,为我们分析研究波动现象与其他动力学问题提供了有效的手段。