【摘 要】
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该论文主要研究某些色散波方程Cauchy问题的适定性.所用方法是Fourier限制范数方法,此方法是由J.Bourgain引进的.需要强调的是,所讨论的方程的生成半群的相函数及其一阶,二阶
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该论文主要研究某些色散波方程Cauchy问题的适定性.所用方法是Fourier限制范数方法,此方法是由J.Bourgain引进的.需要强调的是,所讨论的方程的生成半群的相函数及其一阶,二阶导数有非零奇异点,这就带来一些新的困难.但是,可以利用Fourier限制算子来分离这些奇异点,这样就可以改进已知的一些结果.该论文主要分四章.在第二章,主要讨论Korteweg-de Vries-Benjamin-Ono方程的适定性问题.证明了当初值属于H(R)(s≥-1/8),其Cauchy问题是局部适定的.当初值属于L<2>(R),其Cauchy问题是整体适定的.在第三章,主要讨论Hirota方程的Cauchy问题.当方程带有具有导数的非线性项时,证明了若初值属于H(R)(s≥1/4),其Cauchy问题是局部适定的;若初值属于H(R)(s≥1),其Cauchy问题是整体适定的.当方程不带有具有导数的非线性项时,证明了若初值属于H(R)(s ≥-1/4),其Cauchy问题是局部适定的;若初值属于H(R)(s≥0),其Cauchy问题是整体适定性的.关于整体适定性的证明,主要思想是解在空间H(s≥1)(H(s≥0))中的存在区间只依赖于初值的H<1>(L<2>)模.在第四章,主要讨论关于涡旋丝的四阶非线性Schrodinger方程的Cauchy问题.证明了当方程具有某些系数限制时,若初值属于H(R)(s≥1/2),其Cauchy问题是局部适定的.
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