设G是一个连通有限简单图,有n个顶点υ1,υ2,…,υn,且有邻接矩阵A（G）=(αij)n×n,此处G的特征多项式为|xI-A（G）|。由于A（G）是实对称矩阵,故A（G）的所有特征值均为实数。不失一般性,假定它们按不增顺序排列,即 λ1（G）≥λ2（G）≥…≥λn（G）且称之为G的特征值。 当我们考虑的图是树的时候,相应的特征值的界已有了丰富的结果。但是对于具有m-匹配的树的第二大特征值的下界,目前还知之甚少。本文就针对这个问题进行了研究。在第二章第一节中,利用比较两个首一多项式的最大根的方法,得出了一类具有m-匹配的树的第二大特征值的下界。并且第二章第二节中,针对文[6]中关于具有m-匹配的树的最大特征值的上界的一个定理,应用函数单调性这种简单的思想,提出了一个新的证明。与该定理原来复杂的证明过程相比较,新的证明过程非常简短,一目了然。在第三章中,研究了一类新图,设d（υi）表示顶点υi的度（i=1,2,…,v）。令（?）（G）=（d（υ1））1/2,（d（υ2））1/2,…,（d（υv））1/2)T。称G是一个平方根图,如果（?）（G）是G的一个特征向量（G的特征向量指的是A（G）的特征向量）。也就是说,存在一个常数λ,使得A（G）（?）（G）=λ（?）（G）成立。本文用归纳法证明了Ivan Gutman在文[25]中提出的一个猜想,从而得到平方根图的一个优美刻划。主要结果如下。 定理 设T2k*是一棵有2k个顶点的树,且有一个（2t+1）-匹配,k≥2t+1,则当t≥4时, λ2(T2k*)>λ1（B（k,t））,此处树B（k,t）,T2k*分别见文中图3,图6。 定理 一个连通图G是平方根图当且仅当G是正则或半正则的。