【摘 要】
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1956年,Jesmanowicz猜想对任意的正整数n,若a,b,C是两两互素的正整数且满足a2+b2=c2,则丢番图方程(an)x+(bn)y=(cn)2仅有正整数解(x,Y,z)=(2,2,2).此猜想是有关毕达哥拉斯数
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1956年,Jesmanowicz猜想对任意的正整数n,若a,b,C是两两互素的正整数且满足a2+b2=c2,则丢番图方程(an)x+(bn)y=(cn)2仅有正整数解(x,Y,z)=(2,2,2).此猜想是有关毕达哥拉斯数组的重要的未解决问题之一.它吸引了许多数学家的兴趣.目前,己验证对许多具体的例子猜想是正确的. 本文主要工作分为三部分.第一部分证明了对任意的正整数n,丢番图方程((Fk一2)n)x+(22k-1+1n)y=(Fkn)z仅有正整数解(x,Y,z)=(2,2,2),其中Fk=22k+1为第k个Fermat数. 第二部分研究了不定方程((16p2—1)n)x+(23pn)y=((16p2+1)n)x,其中P为奇素数.并且证明了当P=3,7时,方程仅有正整数解(x,Y,z)=(2,2,2).具体地说,我们得到了如下结果:(i)对任意的正整数n,丢番图方程(143n)x+(24n)Y=(145n)x仅有正整数解(x,Y,z)=(2,2,2);(ii)对任意的正整数n,丢番图方程(783n)x+(56n)Y=(785n)z仅有正整数解(x,Y,z)=(2,2,2). 第三部分证明了对任意的正整数n,丢番图方程(195n)。+f2Sn)y=f197n)z仅有正整数解X,Y,z)=(2,2,2).
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