本文包括四章。第一章对于Lorentz-Minkowski空间中的常平均曲率或常纯量曲率的类空超曲面，探讨了边界对超曲面形状的影响。当边界是球面时，我们推广了Alias等（见[1]）的一个唯一性结果，具体证明了： 定理1．1 设M为Ln+1中以Sn-1（r）（?）∏为边界的紧致常平均曲率类空超曲面，则M只有n维圆盘Bn（r）和超伪球面盖。 关于Rn+1中常平均曲率超曲面的相应问题至今尚未解决。在n=3时，部分结果已被许多作者获得，但即使在嵌入的情况下，也未确定平圆盘和球面盖为仅有的例子（见[2，3，4]等）。增加一个条件，我们可获得如下结论： 定理1．2 设M为Rn+1中以Sn-1（r）（?）∏为边界的紧致常平均曲率超曲面，如果其高斯映照像落在一个以Sn-1（r）为边界的半球面内，则M只有Bn（r）和超球面盖。 进一步，对非零常纯量曲率的超曲面，证明了： 定理1．3 设M为Ln+1中以Sn-1（r）（?）∏为边界的紧致常纯量曲率（非零）类空超曲面，则M只有超伪球面盖。 定理1．4 设M为Rn+1中以Sn-1（r）（?）∏为边界的紧致常纯量曲率（非零）超曲面，如果其高斯映照像落在一个以Sn-1（r）为边界的半球面内，则M只有超球面盖。 1951年，H.Hopf发现R~3中每个常平均曲率曲面都伴随一个全纯微分2-形式，并证明了零亏格的常平均曲率闭曲面一定是R3中的球面.本文的第二章对于犷中零亏格的2型曲面讨论了类似的问题.所谓单位球面Sn中的2型曲面是指位置向量可分解为x=x;+xZ，公l=一兄，x.，Ax:=一兄2x2，入‘兄:. 通过构造一系列全纯微分形式并利用全纯微分形式的消没定理，我们证明了如下唯一性定理: 定理2.1拓扑球面S到犷中的2型浸入x一定是对角和:二（ax，，户2），a’+尸月，其中x，（S），xZ（S）分别是R’中的单位球面和S礴中Veronese极小曲面. 在文献[25，26」中，陈维桓和李海中给出了3维空间形式R’(司中的Bonnet曲面和非定空间形式川(动中类空或类时的Bonnct曲面的分类结果.本文第三章对R4(约和户中平均曲率方向平行的曲面研究了类似的问题.在闭的情况下，我们得到如下结果: 定理3.1设M是R4(约中平均曲率方向平行、非脐的闭曲面.若M容有保持平均曲率方向平行、且保平均曲率的等距变形曲面应，则M有常平均曲率. 局部的，我们得到如下分类结果: 定理3.2设M为扩（的中平均曲率方向平行、非脐的单连通曲面.若M在R4（约中容有保持平均曲率方向平行、且保平均曲率的一个非平凡等距变形，则存在等温坐标（s，O，使第一基本形式‘·伽’丫+（。’）’=。’“·，（de’+dt’），其中。“·，=尸瑜，并且从主曲率标架到等温标架的旋转角有显式表达式.进一步，平均曲率和Gauss曲率满足，H”、（二，二.） 月’，ZH‘ 十—=尸2（2+2H2+2‘bH、--一。尸、），式=￡十打-一（一二，）”F’ 反之，若M满足上述条件，则M容有保平均曲率方向平行、保平均曲率函数的等距变形. 本章第二部分研究了4维Lorentz空间厂中保持平均曲率方向平行、且保平均曲率的类时曲面.按VH类空和类时，将这种曲面分成两大类各三小类，得到了与定理3.2相仿的结果:定理3.3和定理3.4. 第四章考虑了厂中平均曲率H和Gauss曲率K满足K一ZmH+mZ=士1的类空和类时曲面的具体构造，得到如下线汇:（l）从（k，一m）（k:一m）=一1的类空曲面r:M一L3出发，有新 的这种类空曲面，其显式表达式是线汇 .sinhT，.犷=I’+—砚仑+脚仑一 1.一，名 l十厅己m（l一eoshr）l+mZ（2）从（k，一m）（kZ一m）=1（m，笋l）的类时曲面r:M一L3出发，有新的这种类时曲面，其显式表达式是线汇 sinhr，.、m（l+eosh丁）r二r+下一-飞.拼一me一）一一一下一，，厂一一n i一m一i一m（3）从（k:一m）（k:一m）=l的类空曲面r:M一刀出发，有 （k:一mXk:一m卜一1类时曲面，其显式表达式是线汇 .r=（l一mZ）eoshr，，、一一一二一犷十一，一-二，饭e十川e一）十 1.‘，.‘、产 l十刀弓1十打召m（1+sinh:）l+mZ 反之，从（k，一m）（kZ一m）=一l（mZ笋1）的类时曲面::M。若出发，有仇一mX棍一m）=1类空曲面，其显式表达式是线汇 .r:二:（l+m，）1一mZ coshr，.、犷十一.一.一二.吸君一脚君一）十 ，‘、资 1一刀己m（l一sinh丁）l一mZ