本文主要用直接形式的移动平面法研究一类分数阶椭圆型方程和分数阶Lane-Emden方程组正解的径向对称性及不存在性问题.本文的结构安排如下:第一章,简单介绍分数阶Laplace方程的研究背景和本文问题的提出过程.第二章,主要介绍分数阶Laplace方程的预备知识.先给出分数阶Laplace算子的几种定义,然后介绍以往研究分数阶Laplace方程的两种方法——延拓法和积分方程法.最后,陈列几个应用直接移动平面法所需要的极值原理.第三章,研究全空间和上半空间中一类分数阶椭圆型方程正解的性质.首先证明全空间中带衰退假设下正解的径向对称性,再证明全空间中无衰退假设下正解的径向对称性和不存在性,最后证明上半空间中正解的不存在性.第四章,研究全空间上分数阶Lane-Emden方程组正解的性质.首先建立关于方程组的狭窄区域原理,然后用直接移动平面法证明方程组正解的对称性和不存在性.