时滞微分方程是具有时间滞后的微分方程,它用于描述既依赖于当前状态也依赖于过去状态的发展系统.由于充分考虑了历史对当前状态的影响,它在物理、力学、控制理论、生物学、医学和经济学等领域都有重要应用.由于分支周期解对应于动力系统中的自激振动.在许多情况下,振动现象会对我们的生产、生活造成不必要的损失.因此对时滞微分方程的Hopf分支理论进行系统而深入的研究有着强烈的实际背景和重大的理论意义.混沌是时滞微分方程研究中的另一个重要课题.近来在将秩一混沌理论应用于某些常微分方程的动力学研究中发现,渐近稳定的周期解在周期脉冲参数激励下存在秩一混沌吸引子.由于在很多时滞系统中存在分支周期解,时滞系统是否存在秩一混沌吸引子就成为具有很大吸引力和挑战性的课题.本文以时滞微分方程的Hopf分支理论及常微分方程的秩一混沌理论为指导,研究了时滞微分方程的Hopf分支与秩一混沌吸引子,主要工作叙述如下：第一章综述了时滞微分方程及其Hopf分支理论的发展历史、研究现状、主要研究的方法和取得的成果,介绍了秩一混沌吸引子的发现、研究方法及其最新进展.第二章介绍了时滞微分方程Hopf分支理论,全局Hopf分支理论以及常微分方程的秩一混沌理论.第三章研究一类带时滞干预的三物种比率依赖食物链模型.取时滞作为参数,我们得到了正平衡点稳定性、局部Hopf分支存在性的充分条件及判定在临界值从正平衡点分支出来的分支周期解的分支方向、稳定性等性质的判定公式.我们的研究展示系统的稳定性是依赖于时滞的.当时滞经过临界值时正平衡点失去(或者获得)稳定性,Hopf分支发生.通过数值模拟,在参数的不同取值范围内,稳定的,周期的或混沌解被得到,这说明了系统具有丰富的动力学行为.从我们的研究中还看到时滞干预能影响系统的分支及混沌行为,这建议我们时滞干预可以被利用来对系统进行混沌控制,也能进行反控制(即产生混沌).第四章提出一个带饱和发生率和暂时免疫力时滞的SIRS计算机病毒模型,并对它的动力学行为进行研究.该模型是系数依赖时滞的变系数时滞模型.我们推导了再生数R的公式.通过分析有病平衡点处的线性化系统及其相应的特征方程,研究了有病平衡点的渐近稳定性和Hopf分支,而且还利用泛函微分方程的中心流形定理和规范型理论推导了分支周期解的分支方向及稳定性.运用比较原理和迭代方法,对有病平衡点和无病平衡点的全局稳定性进行了研究.这些研究结果可以帮助我们更好地了解计算机病毒通过网络传播的规律,利用这些规律能更好地对计算机病毒进行预防控制.第五章考虑了带Michaelis-Menten型功能反应函数和两个时滞的食饵-捕食者模型.我们重点考虑模型中出现的时滞是两个不同的非零时滞的情形.研究了平衡点的稳定性和Hopf;分支的存在性.当τ1≠τ2时,我们使用中心流形定理和规范型理论推导了确定Hopf分支性质的显示公式.特别地,我们还讨论了由Hopf分支产生的周期解的全局存在性.本章中对两个不同的非零时滞讨论系统的全局Hopf分支在其它的文献中还未出现过.第六章利用泛函微分方程理论和Hassard方法研究带离散和分布时滞的部分依赖食饵-捕食者模型.我们得到了正平衡点的稳定性和Hopf分支存在的判定条件.最后数值模拟验证了理论分析结果.第七章首先以常微分方程的秩一混沌理论为基础,结合时滞微分方程理论,将秩一混沌理论推广到时滞微分方程.具我们所知,在时滞系统中研究秩一混沌理论是前人没有做过的.然后用具体实例研究时滞系统中秩一混沌吸引子的存在性.我们对具时滞的Chen系统使用中心流形定理和规范型理论推导了系统出现上临界Hopf分支的条件.通过对具有上临界Hopf分支的时滞Chen系统加上周期性外力后发现系统可以出现秩一混沌吸引子.数值模拟验证和理论结果一致.这也是目前为止第一次在具时滞的动力系统中发现秩一混沌吸引子.这个实例为我们将秩一混沌理论从常微分方程推广到时滞微分方程提供了依据.