在过去几十年中,二阶椭圆方程理论得到了充分的发展.这一类方程在数学,物理,化学,生物,工程,材料等许多领域有着重要的应用.四阶椭圆方程源于桥梁振动理论,在物理学,工程学等领域有着有广泛的应用.然而,与二阶椭圆方程相比较而言,四阶椭圆方程的发展速度却是比较迟缓的.众所周知,二阶椭圆方程具有不同形式的比较原理,因此此类方程的基本理论知识比较完善.然而高阶椭圆方程不具备一般的比较原理.此外,集中应用于二阶椭圆问题的截断方法很难被直接应用或发展到高阶问题上.而变分法将寻找方程解的问题化为寻找相应能量泛函临界点的问题,因此用变分法研究四阶椭圆方程解的存在性以及多重性受到了人们的广泛关注.本文运用非线性分析和变分法来研究若干非线性四阶椭圆方程方程解的存在性.首先,对一类有界区域上含双调和算子的非线性四阶椭圆方程的分支和多重结果进行研究.此类方程在无穷远处超线性增长在零点处具有鞍点结构.利用极小极大方法,研究双调和算子特征值问题,得到双调和算子的全部特征值和特征函数并给出其基本性质;通过利用分支理论证明方程在0附近存在两个非平凡解;根据双调和算子特征值的性质,对空间进行直和分解,构造局部环绕,然后应用局部环绕定理证明方程存在远离0的第三个非平凡解.其次,对一类有界区域上p双调和方程Navier型边值问题的次临界情形以及临界情形解的多重性进行研究.引入p双调和特征值问题基于上同调指标的特征值序列,通过应用锥上的喷泉定理,证明在次临界情形方程存在无穷多个正能量解,且解的能量趋向于无穷大;通过应用一个抽象临界点定理,证明临界情形下在每个特征值的左邻域内方程存在多个解.最后,对一类RN上p双调和方程解的存在性进行研究.首先建立一个加权Sobolev空间的嵌入定理,利用该嵌入定理,研究RN上p双调和特征值问题,得到基于上同调指标的特征值序列;利用基于上同调指标的特征值序列,构造环绕,通过应用锥上的上同调环绕方法,证明方程存在一个非平凡解。