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值分布论是由 Rolf Nevanlinna在二十世纪二十年代初创立的,通常为了纪念他,我们常称之为Nevanlinna理论.Nevanlinna理论可以看做是上个世纪研究亚纯函数性质所取得的最好的成果.这个理论包括了两个基本定理,我们把它们称之为第一基本定理和第二基本定理,这两个定理显著的提高了经典函数理论的研究,并且在随后,推广和扩展了Picard第一定理,由此开创了亚纯函数研究的先河.更为重要的是,Nevanlinna理论及其扩展在一些领域里有着许多的应用,如位势理论,复微分方程,正规族,多变量等等.
正规族理论的建立是由 P.Montel在二十世纪初创立.令 F为区域 D C上的一族亚纯函数,我们称 F在 D上正规当且仅当每一个子序列{fn}n F按照球面导数在 D上一致收敛,见[61].不久以后,随着Nevanlinna理论的深入发展,正规族理论也发展得十分迅速,许多数学家进行了深入而细致的研究.熊庆来教授,庄圻泰教授,杨乐教授,张广厚教授等所做的奠基性工作使我国在正规族理论的研究方面处于前沿地位.近些年来,对于亚纯函数的正规族理论研究变得非常活跃,特别是Zalcman-Pang引理的诞生.在这之后,许多杰出的成果被数学家们获得.在此期间,中国的数学家,如顾永兴教授,陈怀惠教授,庞学诚教授,方明亮教授等等对正规族理论的推动和发展做出了许多世界性卓越的贡献.
本文主要包括作者在导师仪洪勋教授的指导下得到的关于亚纯函数及其导数的几个唯-性定理,并且在研究了单位圆内的一类复线性微分方程解的k次迭代后的不动点的存在性及其性质.论文的结构如下安排:
第一章,我们简单介绍了Nevanlinna理论和正规族理论的发展,在这章的最后,给出了本文中的一个重要理论:Wiman-Valiron理论.
第二章,我们研究了亚纯函数与其导数分担多项式或者是分担两个超越亚纯函数的问题.通过估计著名的Zalcman-Pang引理中ρn趋于0速度和利用正规族理论,我们得到了这一类函数的级是有穷的.进而我们得到了几个唯一性的定理,它们改进了 Rubel和Yang[60],Li和Yi[47]的结果.同时,我们给出了几个例子,证明了我们结论中的一些条件是必要的.实际上,我们证明了:
定理0.1.令 R1和 R2为两超越亚纯函数,并且 R2(R1,0),再令 f(z)仅有有限多个级点的非常数亚纯函数.如果 f(z)=R1=f(z)=R1,f(z)=R2f(z)=R2,f和 R1无公共级点并且 R1的级小于 f的级.则下列情形之一必定成立:
(1)f≡f;
(2)f=R2+Ceλ2并且(λ-1)R1=λR2-R21,这里的C,λ为两个非零常数.实际上这时 R1,R2退化为了两个多项式.
我们进一步研究整函数与其微分多项式分担多项式的唯-性问题,并且得到一个结果,这个结果改进了如 J.L.Zhang[78]和Feng Lü[52]文中的一些结果.我们得到了:
定理0.2.令 f为有限多个级点的亚纯函数,并且 f的所有零点重级至少是 k+1重的,再令α(z)=P(z)eQ(z),这里P(z)0和 Q(z)为两个多项式.如果L(f(z))=α(z)f(z)=α(z),则 f(z)是有穷级的.
定理0.3.令f为一零点重级至少是 k+1重的超越整函数,再令 Q(z)0为一多项式.如果 f和 L(f)分担 Q(z)CM,则 f≡L(f).
第三章,我们主要讨论了复平面上的亚纯函数及其导数分担一个小函数的唯一性问题,改进了 Yang[71],Yu[74],Lahiri[44],和Zhang[77]的一些结果,并得到了如下两个定理,同时也回答了T.D.Zhang和W.R.Lü的一个问题.
定理0.4.令 k(≥1),n(≥1),m(≥1)为三个整数,f为一个亚纯函数.同时令α(z)(0,∞O)为f的一个小函数.如果 fn和[f(k)]m分担α(z)IM,并且1/m[4N(r,f)+2N(r,1/(fn/a)+2N2(r,1/f(k))+N(r,1/f(k))]<(λ+o(1))T(r,f(k)),(0.0.1)
或者 fn和[f(k)]m分担α(z)CM,并且1/m[2N(r,f)+N(r,1/(fn/a))+N2(r,1/f(k)]<(λ+o(1))T(r,f(k)),(0.0.2)这里0<λ<1,r∈I,I为一个测度有限集合.则[f(k)]m-a/fn-a≡c,这里的c∈C＼{0}.
定理0.5.令 k(≥1),n(≥1),m(≥1)为三个整数,f为一非常数亚纯函数.同时令 a(z)(0,∞)为f的一个小函数.如果 fn和[f(k)]m分担 a(z)IM并且
(2k+6)θ(∞,f)+3θ(0,f)+2δk+2(0,f)>2k+11-n,(0.0.3)
或者 fn和[f(k)]m分担 a(z)CM并且(k+3)θ(∞,f)+δ2(0,f)+2δk+2(0,f)>k+5-n.(0.0.4)
则 fn≡[f(k)]m.
在最后的第四章中,我们主要研究了在单位圆内,一类线性复微分方程的解的导数及k次幂的不动点的一些性质.这个工作主要改进了T.B.Cao,(见[7])最近的一个结果.