玻色爱因斯坦凝聚（即BEC）是指在达到临界温度时,大量玻色子凝聚到同一个能级。这是由其玻色子所遵从的玻色统计所决定的,同玻色子相对应的费米子气体遵从费米统计,在同一个能级上有且只能有一个费米子占据,这就决定其不能形成BEC。随着实验条件的发展,激光冷却技术和囚禁技术的不断改进,将稀薄气体囚禁并冷却在实验上已经可以实现。简并费米气体和分子BEC就是这些技术的成功应用所取得的巨大进展。两个自旋相反的费米子配对可以形成库珀对,当库存珀对发生凝聚时就会发生BCS超流,这是弱的吸引相互作用,而分子BEC是弱的排斥相互作用。Feshbach共振机制通过调节磁场强度从而改变两组分费米气体间的相互作用,使得BCS超流到BEC的转换成为可能。BCS到BEC转换这一新奇的量子现象引起许多物理学家的兴趣,这一过程相关物理量及量子相变的研究具有很大的挑战性。超冷简并费米气体是许多学科的交叉研究领域,对于基础物理以及新科技发展都有很重大的意义。本学位论文主要是研究了低维超冷原子的量子相变。其中研究结果包括以下几个方面：第一章中我们简单介绍了BEC理论和实验的发展过程,实验技术的不断更新,尤其是囚禁技术和冷却技术的发展。目前实验上都是使用光势阱对费米原子进行囚禁。Feshbach共振机制的原理、发展过程以及对简并费米气体的重大作用。超冷费米气体的发展以及BCS到BEC转换这一过程中物理量的变化以及相变的发生,强关联费米气体的一些实验研究工作也在这一章中进行了介绍。在这一章我们知道BCS到BEC转换这一过程中实验对象的不同,可以有不同的相变现象产生,在本章最后一节,对这一部分通过其物理量的关系图进行了简单的介绍。第二章中我们涉及的是质量和化学势都不相同的两组分费米子所构成的费米气体系统。此时系统是一个零温时的自由空间二维体系。因为组成系统组分的不对称,就发生了Sarma超流相。这一相变的特征是有一支无能隙激发能谱。我们通过泛函路径积分方法得到了系统的能隙和束缚态能量的解析解,这是之前的研究结果所没有的。通过这些结果我们就得了此系统BCS到BEC转换这一过程的相图,并对其进行分析和了解。第三章中我们涉及了化学势不同但质量相同的三组分费米气体系统,在这一系统中,只有两种组分之间有相互作用,第三组分与两组分没有相互作用。此系统也是一个零温的自由空间二维体系。用的方法与上章相同,得到BCS到BEC转换过程的相图,并对第三组分对系统的作用进行了分析。第四章中我们先介绍了三组分相同化学势和质量的费米子构成的系统,得出其凝聚结构,并求出不对称两组分费米子的凝聚结构,结合第二章中的解析解作出二组分不对称费米气体凝聚结构与束缚态能量的关系图。不对称三组分费米子气体凝聚结构与束缚态能量的关系图同不对称两组分费米气体做法相同。在得到以上三种不同系统的关系图,我们就第三组分以及化学势的不同对系统所带来的影响进行了分析讨论。