本学位论文的研究内容属于凸几何泛函分析理论和Orlicz Brunn-Minkowski理论范畴，致力于函数不等式和极值问题的研究．这些都是凸几何领域的热点问题，涉及Brascamp-Lieb不等式，Loomis-Whitney不等式，仿射凸壳，Gauss-John位置，迷向测度以及Orlicz Busemann-Petty不等式，Orlicz John椭球等问题.　　 本文第二章的主要内容是推广了Barthe的一个著名工作：多维型的BrascampLieb不等式及其逆不等式．利用Cauchy-Binet公式，我们证明了一个关键引理，从而给出了正的双John分解下的Brascamp- Lieb不等式及其逆．　　 满足John定理的条件其实是一种离散的迷向测度，那么作为它的自然推广，我们定义了球面上的扩展迷向测度，它是球面上的连续Borel测度，并且这个测度能用凸体的L-表面积来刻画.我们证明了关键的Ball-Barthe引理对正的扩展迷向测度也是成立的，因此，利用质量传输理论，在本文第三章建立了正的扩展迷向测度的Brascamp-Lieb不等式及其逆不等式，并给出了等号成立的条件．作为这个不等式的应用，我们相应地推广了Lp子空间及其对偶的体积不等式．　　 在本文第二、三章，我们还证明了κ维Loomis-Whitney不等式和正的扩展迷向测度下的连续型Loomis-Whitney不等式，这些都是Loomis-Whitney不等式的实质性推广．　　 运用Voronoi和Gruber发展起来的正定二次型的类似方法，我们刻画了最小凸壳的的位置特征；同时，最大体积和最小体积位置与凸壳的关系，也给以了表征.　　 利用不同的证明方法-John优化定理，我们对ep-范数的相关Gauss-John位置进行了表征，同时也得到了凸体处于这个极值位置时，与欧氏单位球的距离估计.　　 本文第六章从另外一个角度来看待迷向测度问题－不再选用Rn中典范的欧氏标量积，而是配以与中心对称椭球相关的标量积．我们研究了由这个标量积诱导出来的ε-迷向测度，并给出了特征刻画.　　 第七章中，运用影子系统，我们对Orlicz Brunn-Minkowski理论中重要的OrliczBusemann-Petty质心不等式给出了一个新的证明，这个不等式是Lutwak， Yang和Zhang在2010年的最新文章[139]中得到的，它是Orlicz仿射等周不等式的一种．　　 Lp John椭球，是由Lutwak, Yang和Zhang[136]引入的，包括经典的John椭球，Petty椭球以及对偶Legendre椭球.最后一章中，作为Lp John椭球的自然推广，我们建立了Orlicz John椭球的概念．而且，Orlicz混合体积和Orlicz John椭球Ⅱ的一些性质也将给以研究．