科学和工程中的许多问题可归结为无界区域中的数学物理定解问题.例如,海洋工程、大气科学、矿山开采和热传导等问题.求解这类问题的最简单的方法是设定一个人工边界,然后在有限子区域中用通常的方法计算,例如差分法、有限元方法或者有界区域上的谱方法等.然而,这种截断的办法导致相应的误差.因此需要研究直接计算无界区域上的数学物理问题的高精度算法.该文研究无界区域上各向异性热传导问题的谱方法与拟谱方法.首先,我们在第二章中讨论无穷带状区域上热传导方程的弱形式及其解的存在性,唯一性和正则性,这种弱形式适合于数值计算.在第三章中,我们提出了Legendre-Hermite混合谱逼近方法,在一个方向用Legendre谱逼近,在另一个方向用Hermite谱逼近.在此基础上,我们建立了无穷带状区域中热传导方程的谱方法,证明了该方法的收敛性.数值例子显示了该算法的谱精度.在第四章中,我们研究了Legendre-Hermite混合拟谱逼近方法,并将它应用到无穷带状区域中热传导方程的数值求解中.与相应的混合谱方法相比较,混合拟谱方法在实际计算中更简单和节省时间.该文的主要方法和技巧同样适用于无穷带状区域中的其它偏微分方程的数值求解.