图谱理论已广泛应用于数学、化学、物理和计算科学等多个科学领域。图谱理论研究基于图的矩阵的相关性质进行分析讨论,将图的性质转化为代数性质,并导出关于图的理论。本文将重点考虑图的邻接矩阵,以及无符号拉普拉斯矩阵、规范拉普拉斯矩阵和Aα-矩阵,其大致内容分布如下:(一)考虑了邻接矩阵的谱半径。利用矩阵拆分,得到去点的诱导子图与原图谱半径的关系。并推导出谱半径只与点数和边数相关的一个新的上界,而且该上界较之谱半径已知的一个只与点数和边数相关的上界更好。还讨论了两种图运算对谱半径的影响,获得了两个图粘合后的谱半径的上界,其推广了 Passbani和Salemi的一些结果,以及获得了收缩内部边对谱半径的影响,其推广了 Hoffman和Smith的一个结果。(二)讨论了邻接矩阵零特征值的重数。利用星补的方法完全证明了 Zhou、Wong和Sun提出的一个连通图中零度关于点数和最大度的猜想。对于点数n和直径d,刻画了零度η满足η=n-d或者η=n-d-1的所有的树。进一步,刻画了满足η=n-d的所有的极图。此过程中,还证明了毛毛虫图是极小图的充分必要条件。(三)讨论了邻接矩阵的第二小和第三小特征值。首先考虑到连通图与其连通子图之间的结构关系,再利用Cauchy交错定理证明了第二小特征值达到前四大的图。利用Torgasev关于只包含两个负特征值的基本图的结果,证明了第三小特征值达到最大值的所有图。(四)讨论了无符号拉普拉斯矩阵和规范拉普拉斯矩阵。利用无符号拉普拉斯矩阵最小特征值对应的特征向量与图的结构的关系,在某类单圈图中,我们确定了唯一使得图的最小的无符号拉普拉斯特征值达到最小的图,相应地,使得无符号拉普拉斯谱展达到最大的图也得到了刻画。通过矩阵张量积的计算,得到了加边对图的规范拉普拉斯特征值的影响,从而得到了在聚类中加边对图的规范拉普拉斯特征值的影响,并证明在聚类中加边将使其规范拉普拉斯能量严格增加的结论。(五)研究了Aα-矩阵。给出了任意图的Aα-矩阵的特征多项式与去点、去边和诱导子图后的Aα-矩阵的特征多项式的关系。结论推广了图的邻接矩阵去点和去边对应的结果以及推广了图的拉普拉斯矩阵去点、去边和去诱导子图对应的结果。证明了树T的第k大Aα特征值的上界,结论在一定程度上推广了 Shao和Guo分别关于邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的结果。