【摘 要】
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本学位论文属于Orlicz Brunn-Minkowski理论,致力于仿射极值问题和等周型不等式的研究,涉及John椭球体、极小表面积、均质积分和仿射均质积分.第二章通过解决Orlicz混合体积的一类仿射极值问题,引入了凸体的Orlicz-John椭球体这一类关联椭球体,并证明了Orlicz-John椭球体的连续性和公共极限位置定理,这表明Orlicz-John椭球体将经典John椭球体及其发展成
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本学位论文属于Orlicz Brunn-Minkowski理论,致力于仿射极值问题和等周型不等式的研究,涉及John椭球体、极小表面积、均质积分和仿射均质积分.第二章通过解决Orlicz混合体积的一类仿射极值问题,引入了凸体的Orlicz-John椭球体这一类关联椭球体,并证明了Orlicz-John椭球体的连续性和公共极限位置定理,这表明Orlicz-John椭球体将经典John椭球体及其发展成的Lp John椭球体推广到Orlicz Brunn-Minkowski理论框架下.建立起了Orlicz-John椭球体的表征与测度迷向性的本性联系.研究了Orlicz-John椭球体的体积的界以及体积比,特别地,建立了Orlicz-John椭球体的体积比不等式,该仿射不等式推广了Ball建立的体积比不等式以及Lutwa、Yang、和Zhang建立的Lp版本.第三章通过解决Orlicz表面积的极小化问题,引入了凸体的极小Orlicz表面积这一仿射几何量,它推广了Petty的极小表面积以及LYZ的极小Lp-表面积.通过研究极小Orlicz表面积泛函在等体积凸体类上的界,建立了极小Orlicz表面积的等周不等式和逆等周不等式.特别地,极小Orlicz表面积的逆等周不等式将Ball建立的极小表面积的逆等周不等式和LYZ本性建立的极小Lp-表面积的逆等周不等式推广到Orlicz Brunn-Minkowski理论框架下.第四章通过研究均质积分的一阶Orlicz变分,引入了凸体的Orlicz混合均质积分这一类几何量,它们推广了Aleksandrov、Fenchel和Jessen引入的混合均质积分和Lutwak引入的Lp-混合均质积分.建立了Orlicz混合均质积分的Cauchy-Kubota公式,这将Orlicz Brunn-Minkowski理论与积分几何联系了起来.建立了Orlicz混合均质积分的Minkowski等周不等式,并进一步建立了均质积分的Orlicz Brunn-Minkowski不等式.第五章通过研究仿射均质积分的一阶Orlicz变分,引入了凸体的Orlicz混合仿射均质积分这一类几何量.利用Grassman n流形上的积分几何技术,完整地证明了Orlicz混合仿射均质积分的仿射不变性.建立了Orlicz混合仿射均质积分的Minkowski等周不等式,并进一步建立了仿射均质积分的Orlicz Brunn-Minkowski不等式.
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