几何动量是最近几年内才提出的一个量子物理学量,其原始的定义是适用于描述约束在弯曲超曲面粒子的动量。所谓超曲面,指的是指在N+1维平直空间中对N维弯曲曲面进行描述而言,这个N维的曲面称为超曲面。几何动量是一个几何不变量,仅仅依赖于曲面的弯曲性质,和曲面的参数变换无关,因而被认为给出了曲面上运动粒子动量的恰当描述。但是,从几何动量的引入与作为扩展正则量子化应用方面对其研究,还不足以得到几何动量的物理实质。论文一方面将几何动量作为三维动量的一个分量,探索几何动量的物理意义。另一方面基于几何动量在物理上的可测量性探讨径向动量作为一个非自伴算符的测量方案。最后,基于几何动量作为三维空间具有本征函数和本征值的算符,研究磁单极-电荷系统扩展的几何动量与角动量代数关系。针对以上研究设想,论文的研究方法和创新点有如下方面:第一、以中心势场中粒子运动为特例,研究三维动量分量与几何动量的关系,一方面研究球面几何动量的本征函数和本征值;研究在径向位置确定值表象中的几何动量,从而达到几何动量从真实的约束系统作力学量表象的推广。第二、通过推广后的横向动量具有和约束在径向位置不变的球面上的几何动量具有相同的表达式,解决狄拉克径向动量算符的物理和数学意义这一理论难题,同时展现几何动量自身也具有的鲜明物理意义。第三、研究磁单极-电荷系统的角动量和确定半径球面的几何动量的代数关系,进一步研究几何动量作为曲面无穷小平行移动生成元的几何性质,从而研究磁单极磁荷量子化、通量量子化,A-B相移。基于以上研究方法和创新点,通过详细的研究和论述,本论文主要取得了以下结论:第一,解决了狄拉克提出的球坐标系径向动量算符,并论述该算符有对应的实验可测量问题。这个问题自提出以来一直受到数学界和物理学界的严厉批评和质疑,认为该算符不具有自伴性,不可能有完备的本征函数集,因此不能被测量。注意到该算符可以有期望值及其不确定度,论文提出了径向动量算符的自伴算符分解方法,即把径向动量算符定义三维动量算符和几何动量算符的差,这两个不同的自伴算符作用的空间不一样,发现对径向动量的测量实际上是两个不同测量结果的差,故而是量子力学中是一个可以测量的量。为了明显的说明此方案的合理性,特别以氢原子基态为例,给出了径向动量可能值的分布情况。第二,注意到在平直空间中动量是量子态平行移动的生成元,如果推广后的几何动量具有意义,应该推动量子态在球面上移动时,将产生非平凡的物理效应。作为一个典型的例子,我们把几何动量应用于磁单极-电荷系统,对该系统,首先定义了恰当的轨道角动量,即磁单极角动量,然后引入了磁单极几何动量。发现这个六个算符能构成封闭的so(3,1)代数。然后,让电荷的量子态在磁单极几何动量的推动下转动一周,发现量子态表现处两个变化:第一是熟知的转动;另一个是由于磁单极导致的不可积相位因子。同时我们还发现磁荷量子化的新途径。第三,在研究三维空间氢原子的基础上,推广n维径向动量的测量问题,研究表明,对应高维情况,氢原子基态中电子低动量区域径向运动概率较三维增大。第四,以扩展正则量子化为基础,研究超曲面上运动粒子的埃伦费斯特定理,研究发现超曲面上运动的自由运动粒子除具有向心力外还受到另一种曲率引起的驱动力。