【摘 要】
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现今信息技术已经渗透于科学研究、工业生产以及日常生活的方方面面.现有事实表明,许多实际问题最终均可以归结或部分归结为非线性方程与约束的求解.由于数值计算方法往往存在误差且不完备,随着对系统可靠性要求的逐步提高,传统的数值求解方法已愈发难以胜任.近年来,代数与计算机交叉结合的研究领域应运而生.基于代数理论的严格证明保证了求解方法的准确性与完备性,而计算机技术的发展则为代数求解方法的高效实现提供了强有
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现今信息技术已经渗透于科学研究、工业生产以及日常生活的方方面面.现有事实表明,许多实际问题最终均可以归结或部分归结为非线性方程与约束的求解.由于数值计算方法往往存在误差且不完备,随着对系统可靠性要求的逐步提高,传统的数值求解方法已愈发难以胜任.近年来,代数与计算机交叉结合的研究领域应运而生.基于代数理论的严格证明保证了求解方法的准确性与完备性,而计算机技术的发展则为代数求解方法的高效实现提供了强有力的支持.对于多项式方程与约束的求解问题在近半个世纪已经得到了深入的研究与很好的解决方法;而由于超越函数（即非多项式函数）性质复杂,对于超越方程与约束的求解研究仍处于起步阶段.诸多复杂系统恰是由超越函数构建起来的.故而,对于此类约束求解问题的研究具有相当的研究价值.本文主要针对超越函数—多幂式方程与约束的求解问题展开研究,多幂式即是将多项式的整数指数拓展到了实代数数的一类超越函数.具体工作包括三个层面:·理论方面:主要由超越数论入手研究了多幂式根的性质.根据Gelfond–Schneider定理与Schanuel猜想提出了关于多幂式代数数根、重根、公共根存在性的充要条件,并且可以通过检测有限多个特例点判定其是否成立,从而为后续算法建立提供了有力的理论保障.·算法方面:主要基于代数方法研究了多幂式正根隔离与多幂式约束可满足性求解问题.首先,根据域扩张理论给出了多幂式因式分解算法,进而分别基于区间排除法与微分序列法提出了多幂式正根隔离算法,以及提出了多幂式可满足性约束冲突驱动模式的求解算法.·实现方面:为了提高求解算法的执行效率,提出最简操作数策略,即在不影响算法正确性的前提下选取最简单的操作数.根据Stern-Brocot树与二进制有理数这两种有效编码方式,分别提出了区间分割优化方法来选取编码长度最短的操作数,并通过随机样例显示了效率的显著提升.综上,本文以多幂式约束求解为核心问题,从理论、算法、实现三个角度得到了较为系统的研究成果.文中所证明的多幂式相关根的存在性条件充分体现了这类超越函数的独特性质,而所提出求解算法的原理与选取最简操作数的方法对于求解其他约束均具有启发性的意义.
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