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插值法是研究微分方程,函数逼近,数值积分,数值微分等课题的基础。人们对插值法的研究历史悠久,源自于生产实践,例如,二次插值和线性插值曾被我国科学家在一千多年前成功应用于历法研究中,但受当时理论知识的局限,它的应用也受到了限制。但随着微积分的产生,插值法的理论知识也得到进一步完善,它在日常生活中的应用也越来越广泛。特别是工业时代与信息时代的到来以及机械设计、航海、航空等现实问题的实际需要,尤其是样条插值在近几十年来的迅速发展,插值应用的广度,深度都登上了一个新的台阶。 本文主要介绍了有理样条的发展过程和理论背景。在此基础上对含有形状参数的保形的有理样条曲线和曲面进行了分析研究。本文工作主要有以下几部分: 1.介绍了CAGD的发展过程与国内外研究现状及保形有理插值的理论背景。 2.介绍了线性有理插值样条的基础知识,为下面三章做好理论铺垫。 3.介绍了保形三次有理样条及其等距曲线的生成算法,讨论了保正,保单调性和保凸性的充分条件,通过建立样条模型和离散的数据点得到了对应的光滑曲线和等距曲线,最后用数值例子说明了本算法的有效性。 4.介绍了基于函数值的混合有理插值,把3/1型有理插值函数与标准的三次Hermite插值相结合,进行张量积的处理,并用差商代替插值节点处的参数导数,构造了二元混合有理插值格式,并通过数据实例说明它在计算机辅助设计中的灵活性,有效性。 5.介绍了一种矩形网格上的有理插值样条曲面,构造了一种基于一组给定的正的数据点上的保正的有理插值样条曲面。