图像处理的主要目的是对图像进行分析、加工,使处理后的图像满足人们的视觉和心理要求,其中包含若干重要的应用问题,例如:图像去噪去模糊(image denoise and deblurring)问题,图像超分辨率(image super-resolution)重建问题和图像修补(image inpainting)问题等。这些问题主要来源于图像在获取、传输及存储的过程中受到一些不利因素的影响。例如:因为相机内部传感器噪声或是相机拍照时的抖动使得图像含有噪声和模糊,或者因为成像设备本身的限制造成图像分辨率过低的问题,或者图像受到划痕、墨迹覆盖等影响造成的图像修补问题。针对这些问题,如何根据各自特点建立合理模型并设计高效算法是本学位论文的主要研究目标。本学位论文主要研究上述所提到的三个重要问题,即图像去噪去模糊问题、图像超分辨率重建问题和图像修补问题。实际上本文涉及到的内容属于数学与图像处理的交叉研究,着重研究了数学的方法与理论,并应用于图像问题。根据不同图像处理问题的特点,我们建立相应的数学优化模型并设计高效算法,同时通过大量数值实验来验证提出方法的有效性。本文的主要研究内容如下:1.提出一种基于小波的两层网格方法求解图像去噪去模糊问题。我们选用具有灵活性质的symmlets小波作为传递算子,这种传递算子使提出的两层网格方法能得到更加稳定的实验结果,并能有效减少图像伪影现象。实验表明所提出的方法能得到满意的图像去噪去模糊结果。2.提出一种多重网格方法求解病态信号复原问题。虽然基于奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)的方法求解精度较高,但是不适用于求解大规模复原问题。为了克服这一困难,我们利用多重网格方法将大规模问题转化为中小规模问题,并采用基于SVD的方法来求解。为了在多重网格最粗层能选取合理的正则化参数,提出的方法未采用预光滑子(pre-smoother),并在后光滑阶段采用软阈值(soft-thresholding)方法消除残留的高频信息(如噪声等)。实验结果表明所提出的方法相较于基于SVD的方法精度更高,并且明显地减少了计算时间。3.图像超分辨率重建在卫星成像、高清电视、医学成像等方面具有重要应用。本文提出一种基于迭代框架的单图像超分辨率(single image super-resolution)方法,这种方法只需一幅低分辨率图像即可恢复出高质量的高分辨率图像。在提出的方法中,我们假设图像由平滑部分和边缘部分构成,平滑部分可由再生核希尔伯特空间(Reproducing Kernel Hilbert Space,RKHS)的再生核线性表示,而边缘部分则可由近似Heaviside函数来刻画。根据这种新颖的表示方式建立了稀疏优化模型,并设计了相应的迭代算法求解此模型。此外,提出的方法被应用到图像块(image patches)上从而大大减少了计算量和存储量。大量的视觉和量化结果验证了所提方法的有效性。4.数学上有一个非常简单的间断函数——Heaviside函数,它的连续形式(近似Heaviside函数)的线性组合可表示一幅图像的强度函数。提出的方法利用两组不同光滑度的近似Heaviside函数来分别表示图像的光滑部分和非光滑部分,根据此表示关系建立了稀疏优化模型,并设计出相应的交替方向多乘子方法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)来求解此模型。同样为了减少计算量和存储量,将提出的方法应用到图像块上。大量的数值实验表明相较于现今最前沿的图像超分辨率方法,所提方法不仅能得到更好的量化结果,而且还能得到更满意的视觉效果。5.图像修补问题通常来源于图像划痕、墨迹覆盖等情况,本文提出一种基于模板的图像修补算法。基于模板的图像修补算法主要包含两个阶段:1)决定待修补区域的图像块填充顺序,2)从已知的源区域选择合适的图像块来填充待修补区域。传统的基于模板的算法没有充分考虑图像的几何结构,由此得到的图像块填充顺序并不合理,从而导致最终的修补结果不理想。本文提出的方法通过研究图像纹理结构和几何结构对图像块填充过程的影响,进而定义一种新的图像块填充顺序。这种填充顺序使图像块首先沿着几何结构填充,待几何结构完全填充后再进行图像纹理的填充。这样可以避免图像几何结构被传统方法破坏的缺点。数值实验表明所提方法能得到满意的视觉效果。