【摘 要】
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在非线性数学物理中,非线性方程是描述各个科学领域复杂物理现象的一类重要的数学模型.本文以计算机代数为工具,研究了非线性方程的一些问题:非局域对称、精确解以及可积性.
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在非线性数学物理中,非线性方程是描述各个科学领域复杂物理现象的一类重要的数学模型.本文以计算机代数为工具,研究了非线性方程的一些问题:非局域对称、精确解以及可积性.主要的内容如下:第一章介绍了孤立子理论的研究背景与发展现状,以及国内外学者在这些方面所取得的成果,并阐明本文的主要工作.第二章考虑了非线性方程的非局域对称和精确解.通过Painlev′e分析中的留数对称和Lax对两种途径分别得到了(2+1)-维破碎孤子方程的非局域对称,由一个变量间的变换说明两种途径的等价性.将留数对称局域化后,进一步研究了方程的孤立波与椭圆周期波的相互作用机制.第三章利用相容tanh展开法获得了(2+1)-维破碎孤子方程的孤立波和椭圆周期波的相互作用解.从中可以看到,对于寻找非线性方程的相互作用解,该方法比其他方法更直接,更简单.第四章基于Bell多项式理论研究了(2+1)-维变系数Caudrey-Dodd-Gibbon-KoteraSawada方程的可积性.系统地构造该方程的双线性形式,双线性B¨acklund变换,Lax对以及无穷多守恒律,得到了系数之间的可积约束条件.同时借助双线性方法,构造了其N-孤子解.第五章给出了本文的结论和展望.
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