零维理想是多项式环中的一类非常重要的理想，研究多项式环中理想的结构与性质，通常先从零维理想入手，进而得到关于一般理想的重要结论，因此零维理想及其代数簇的相关知识就显得尤为重要。不仅如此，零维理想及其代数簇的相关知识还广泛应用于在现代几何、代数编码理论、通讯及电子工程等多个领域.　　本论文以多项式系统为主要研究对象，重点讨论了以下内容：　　1.引入 Gr?bner基和三角列的相关基础知识，详细讨论了零维理想及其代数簇的理论性质，并进一步改进了相关定理.　　2.艾森斯坦判别法可用于判定整系数多项式在有理数域上的不可约性，本文进一步在其基础上，提出了唯一分解环中不可约多项式的判定定理。　　3.新提出的不可约多项式判定定理中，考虑的是唯一分解环中的素理想，从而推广了先前的单纯考虑素元的结论；并进一步讨论了不可约因式的系数和素理想之间的从属关系；根据理想的基本性质，得到了一系列有用的推论；证明的方法采用的是环同态映射，从而使得证明的过程显得清晰简洁.　　4.代数封闭域中的极大理想显然是零维理想，从而可通过选择合适的极大理想，将新提出的唯一分解环中不可约多项式的判定定理，有效地应用于不可约三角列的判定之中，得到一种新的不可约三角列的构造和判定的方法.