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近年来为了更好地利用Heegaard距离来研究Heegaard分解,人们更多地从Heegaard曲面的曲线复形的角度去看Heegaard分解. Masur和Minsky研究了曲线复形的许多特征.特别的,他们给出了紧致平环的曲线复形的定义并且研究了这种特殊曲线复形的一些拓扑及几何性质.他们还证明了如下一个重要的结论:假设A是一个紧致的平环,若a,b为曲线复形C(A)中的任意两个顶点,则有dc(a,b)≤1+i(a,b),其中i(a,b)为a,b的内部相交数. 本文主要是研究带有三个洞的球面中的本质弧和这个曲面的弧复形中的距离.假设P是带有三个洞的球面,本文先是研究了它当中的本质弧,即不能同伦到aP上的弧.P的三个边界分别设为C1,C2,C3,取定两个特殊的定点A∈C1,B∈C2,连接A,B的弧AB→我们用(A,B;0,0,0)表示.设A为起点,B为终点,逆时针旋转为正方向,顺时针旋转为负方向.我们在C1,C2,C3上都赋予正向,则有以下两个结论：（1）任意一条端点分别是A,B的弧均可以用(A,B;m,n,k)来表示,其中,m,n∈Z,k=0,1或者-1.（2）任意一条以▽p∈C1,p≠A为起点,以▽q?∈C2,q≠B为终点的弧均可以用(p,q;m,n,k)来唯一表示,其中m,n∈Z,k=0,1或者-1. 接着本文将紧致平环中的曲线复形的定义推广到带有三个洞的球面P上,称这个曲线复形为曲面P的弧复形,用A(P)来表示,我们研究这个弧复形中任意两个顶点之间的距离,得到以下的结果:设P是一个带有三个洞的球面,若a,b为A(P)中的任意两个顶点,则有dc(a,b)≤4. 最后我们给出一个dc(a,b)≤4的例子.