论文部分内容阅读
高维仿射李代数(Extended affine Lie algebra)是复数域上有限维单李代数和仿射Kac-Moody代数的自然推广.在高维仿射李代数表示理论的研究中,一个最基本的问题是权空间维数有限的不可约可积模的分类.在1986年左右,V.Chari和A.N.Pressley解决了零度(nullity)为1的高维仿射李代数(仿射Kac-Moody代数)的权空间维数有限不可约可积模的分类问题,(见文献[CP],[CP1]及[CP2]).而零度为0的高维仿射李代数(复数域上有限维单李代数)的权空间维数有限不可约可积模是有限维不可约表示.环面高维仿射李代数是一类最典型的高维仿射李代数.本文给出了零度为2的环面高维仿射李代数权空间维数有限且核(core)作用非平凡的不可约可积模的完全分类.在处理这类模时,我们需要零度为2的环面高维仿射李代数的一类loop模及秩为2的Heisenber-Virasoro代数的Harish-Chandra模的结果,(分别见第三章与第四章).到目前为止,对环面高维仿射李代数表示理论的研究还是非常有限的.Y.Billig利用顶点算子代数理论构造了一类环面高维仿射李代数的不可约模,(见文献[B]).受V.Chari和A.Pressley构造仿射Kac-Moody代数的loop模思想的影响,在Y.Billig工作的基础上,我们利用顶点算子代数理论构造了一类零度为2的环面高维仿射李代数的loop模,并证明了在一定的条件下该loop模是完全可约的,(见第三章).零度为2的环面高维仿射李代数的权空间维数有限且核作用非平凡的不可约可积表示的分类是非常有意义且重要的问题.当典范中心元作用不全为零时,该模是一个Heisenberg代数的水平为零的Z-分次不可约模做诱导模的不可约商;当典范中心元作用均平凡时,该模是两个变量的Laurent多项式环与其上的斜导子李代数的半直积李代数的Z2-分次不可约模做诱导模的不可约商.而在全环面李代数(full toroidal Lie algebra)的情形,该模均是Laurent多项式环与其上的导子李代数的半直积李代数的分次不可约模的诱导模的不可约商,(见文献[RJ]).对于核作用平凡的情形,该模范畴同构于无中心Virasoro-like代数的由拟有限维(权空间维数有限)不可约模构成的模范畴.在第四章,我们证明了秩为2的Heisenber-Virasoro代数的Harish-Chandra模或者是一致有界模,或者是广义高权模.进而,给出了其广义高权Harish-Chandra模的分类.在第五章,我们研究了秩为2的Heisenber-Virasoro代数的Verma模.