【摘 要】
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丢番图方程是各类不定方程的总称,是数论中一个非常重要且具有一定现实意义的研究课题.它与编码学、计算机应用科学等学科有着紧密的联系.它的各种研究成果不但对数学的各个
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丢番图方程是各类不定方程的总称,是数论中一个非常重要且具有一定现实意义的研究课题.它与编码学、计算机应用科学等学科有着紧密的联系.它的各种研究成果不但对数学的各个分支发展起着重大的作用,而且对其它非数学学科,如物理学、生物学、地理学、金融学等的研究有着一定的应用价值.所以,丢番图方程一直以来都是许多数学工作者和数学爱好者钟爱的研究对象.本文主要运用了初等数论、代数数论、丢番图逼近论的一些方法,进行了如下探究：一、对丢番图方程Dx2+D22n=yp,应用了比卢,Hanrot和Voutier等人有关Lucas数与Lehmer数本原素因子的相关成果,讨论了当D1,D2取某些特殊值时该方程解的特性：(1)当D2=2时,p(?)3(mod8)时,n为正整数,p为奇素数,D1是正奇数并且不含平方因子,方程D1x2+D22n=yp无gcd(x,y)=1的整数解.(2)当D2=2时,D1(?)7(mod8)为奇素数并且不含平方因子,p是奇素数,n为正整数,方程D1x2+D22n=yp没有满足2|y的正整数解(x,y).(3)当D1=p,D2=3时,p是素数,且p(?)7(mood8),n为正整数,方程px2+32n=yp无满足gcd(x,y)=1的正整数解.二.对丢番图方程Dx2+1=4y5,讨论了当D=3,7,11,-5时方程整数解的特性.(1)当D=3时,丢番图方程只有整数解(x,y)=(±1,1)；(2)当D=7,11时,丢番图方程没有整数解；(3)当D=-5时,丢番图方程只有(x,y)=(±1,-1)的整数解.三.设P是奇素数：如果P=3(3k+1)(3k+2)+1,并且k为非负整数,则方程x3+1=3py2无正整数解.
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