小波Galerkin方法是微分方程数值解理论中的重要方法.由于许多微分方程是定义在有界区域上的边值问题，因而自然需要区域(区间)上具有边界条件的小波.众所周知，Navier-Stokes方程是描述流体运动的重要数学模型.Deriaz等人利用散度自由和旋度自由小波研究了这一模型，其小波构造严格地依赖于B-样条小波之间的微分关系.本文研究直线(区间)上具有微分关系的小波以及区间[0，1]上具有齐次边界条件和消失矩的双正交小波.　　 在第二章，我们首先证明了两个负面结果：一是不存在具有微分关系的正交小波.二是尺度函数的插值性与简单微分关系不可兼容；其次，我们给出了具有简单微分关系的尺度函数的一般表达式.然后从原始尺度函数、小波及其对偶出发，构造了与它们具有简单微分关系的尺度函数、小波及其对偶.讨论了具有最短支集的插值小波的性质，并说明它和C. Micchelli工作之间的关系；最后是区间上具有微分关系的一对紧标架小波的构造，并用具体例子加以说明.　　 第三章研究同时具有齐次边界条件和消失矩条件的双正交小波：通过简单改造Dahmen等人的工作，得到了零边值小波，但它没有消失矩；为弥补这一缺陷，我们从一个简单引理出发，构造了对偶尺度函数.然后利用Dahmen、Kunoth和Urban的矩阵分解技巧给出了满足齐次边界条件及消失矩的双正交小波，最后是两个具体的例子.数值实验表明，这一小波在数值求解某些具有齐次边界条件的微分方程时能取得好的效果.那是因为小波的齐次边界条件使得求解过程在边界处不产生误差，小波的消失矩性质提供了高效的计算速度.　　 注意到前一章得到的小波结构一般比较复杂(尽管两个例子是简单的)，也由于小波Galerkin方法求解微分方程时并不需要对偶小波，第四章只研究原始空间中的小波：首先利用Cohen、Daubechies和Feauveau的小波只有一个半整节点的性质，定义了左、右边界小波，并证明了直和分解定理；其次讨论了稳定性，尽管理论证明并不完善，但数值实验表明对求解某些微分方程而言，它和第三章中的双正交小波具有同样好的效果；最后是对Bittner工作的一个注记，它说明边界小波的光滑性与节点结构之间的关系.