本论文主要研究分形几何和测度论中的一些问题,这些问题包括一类具有完全重叠结构的自相似集合的唯一码集的维数及作用在该集合上的一些算术运算,填充测度的两种不同构造方法的等价性。首先,我们得到了一类具有完全重叠结构的自相似集合的唯一码集（Univoque set）U的 Hausdorff 维数公式。令A是由一些自相似集合所组成的集合族,A中的元素K为由满足下列条件（一）（二）（三）（四）的迭代函数系统（IFS）{fi（x）=λx+bi}i=1n 所生成的自相似集。设n,m≥3为正整数,λ∈（0,1）,bi∈R,1≤i≤n,它们满足以下条件:（一）0=b1<b2<…<bn=1-λ;（二）对于任意1≤i<j≤n,若j-i≥2,则fi（[0,1]）∩fi[0,1])=?;（三）存在i,j∈{1,2,…,n-1}使得fi（[0,1]）∩fi+1（[0,1]）=?及fj（[0,1]）∩fj+1（[0,1]）≠?;（四）如果fi（[0,1]）∩fi+1（[0,1]）≠?,则|fi（[0,1]）∩fi+1（[0,1]）|=λj,j∈{2,3,…,m},其这里丨.|代表区间的长度。给定K∈A,对于每个K中的x,至少存在一个序列（ik）k=1∞∈{1,2,…,n}N使得因此,Π:{1,…,n}N→K是满的、连续的映射。我们称满足上述关系式的序列（ik）k=1∞为x的一个码。如果点x∈K的码是唯一的,那么称x为唯一码点（univoque point）.我们用U表示K中全体唯一码点的集合,称为K的唯一码集。使用Configuration的概念,我们可以构造一个具有递归结构的集合K*,它与唯一码集U最多相差一个可数集,并且得到了 dimHK*的计算公式。其次,我们考虑集合族A,它的元素为由满足下列条件（一）（二）（三）（四）（五）的迭代函数系统（IFS）{fi（x）=λx+ai}i=1n,所生成的自相似集。设n≥3为正整数,λ∈（0,1）,ai∈R,1≤i≤n,它们满足以下条件:（一）a1<a2<…<an,其中f1（a）=a:=a1/1-λ,fn（b）=b:=an/1-λ,和fi（a）<fi+1（a）对每个i=1,2,…,n-1;（二）对任意1≤i<j≤n,若j-i≥2,则fi（[a,b]）∩fj（[a,b]）≠?;（三）存在i,j在{1,2,…,n-1}使得fi（[a,b]）∩fi+1（[a,b]）=?及fi（[a,b]）∩fj+1（[a,b]）=?;（四）如果fi（[a,b]）∩fi+1（[a,b]）≠?,则|fi（[a,b]）∩fi+1（[a,b]）|=λ2（b-a）,其中|.|表示区间的长度;（五）α=fs0+1（a）-fs0（b）和β=ft0（a）-ft0-1（b）,这里s0=min{1≤i≤n-1:fi（[a,b]）∩fi+1（[a,b]）=?},t0=max{2≤i≤n:fi（[a,b]）∩fi+1（[a,b]）=?}和 s0≠t0-1设f:R2→R为连续函数。任取K1,K2∈A,设U1,U2分别为集合K1,K2的唯一码集合,我们给出了f（U1,U2）包含内点的充分条件。最后,我们考虑填充测度的构造问题。记Ps和Ts分别是通过方法Ⅰ和方法Ⅱ构造的s-维填充测度,其定义如下:设0≤s<∞。对于F?Rn和0<δ<≤∞,令其中{Bi}是中心在F上半径不超过δ的不相交球的集合（这种集合{Bi}称为集合F的δ-填充）。那么,是Rn上的一个外测度,称为由方法I构造的s-维填充测度.对于每0<δ≤∞,令它是Rn上的一个外测度,称为由方法Ⅱ构造的s-维填充测度。相应的两个填充维数定义如下:dimP E=inf{s:Ps（E）=0}=sup{s:Ps（E）=+∞},dimT E=inf{s:Ts（E）=0}=sup{s:Ts（E）=+∞}。我们证明了:对于Rn的任何子集E都有Ps（E）=Ts（E）.于是,对于任何集合E都有dimP E=dimT E。