计算几何作为计算机科学的一个分支主要研究几何问题的算法。许多经典的几何最优化问题,如最小闭包球问题、最小体积闭包椭球问题以及最小体积轴向椭球问题等都是它研究的对象。在现代工程学和数学领域,这些问题在计算机图形学、模式识别、机器学习和碰撞检测等方面都有着广泛的应用,而且这些问题本身在计算几何中也是很有意义的问题。因此,研究这些几何最优化问题的算法具有重要的理论意义和实用价值。已有的一些精确算法,只能解决中小规模数据集上的问题。本文主要研究了求解这几类几何最优化问题的(1+∈)-近似算法,尤其是针对求解大规模数据集并具有高精度的问题。主要的研究成果如下：1.基于最小体积闭包椭球问题最优化公式的近似最优性条件,分别给出了最小闭包球问题和最小体积轴向椭球问题最优化公式的弱、强近似最优性条件的定义。根据算法最终得到的近似解满足这两种近似最优性条件的情况,将已有的近似算法和提出的近似算法分为两类。我们发现所有得到的近似解满足强近似最优性条件的算法具有线性收敛性,而满足弱近似最优性条件的算法不具备这样的性质。2.对于最小闭包球(minimum enclosing ball,简记为MEB)问题,基于已有的近似算法,提出了三个改进的新算法。第一个改进算法得到的近似解满足MEB问题的弱近似最优性条件,而另外两个改进的算法得到的近似解满足MEB问题的强近似最优性条件。对于给定的精度∈∈(0,1),三个改进算法得到近似求解MEB问题的计算复杂度和核心集大小分别为O(mn/e)和O(1/∈),这些结果与当前众所周知近似求解MEB问题的最好的理论结果相一致。数值实验结果证实了满足强近似最优性条件的改进算法对于求解大规模数据集并具有高精度的MEB问题的有效性。3.对于最小体积闭包椭球(minimum volume enclosing ellipsoid,简记为MVEE)问题,利用支持向量机中序列最小最优化(sequential minimal optimization,简记为SMO)算法的思想,提出了一个SMO-型的秩-2更新算法以及该算法的一个扩展。它们得到的近似解满足MVEE问题的强近似最优性条件。对于给定的精度∈∈(0,1),秩-2更新算法得到近似求解MVEE问题的计算复杂度和核心集大小分别为O(mn3/e)和O(n2/∈),这些结果与当前众所周知近似求解MVEE问题的最好的理论结果相一致。数值实验结果表明与之前的秩-1更新算法相比,秩-2更新算法对于求解大规模数据集并具有高精度的MVEE问题更有效。4.对于最小体积轴向椭球(minimum volume axis-aligned ellipsoid,简记为MVAE)问题,基于最近给出的一个近似算法,提出了四个改进的算法。其中两个改进的算法得到的近似解满足MVAE问题的弱近似最优性条件,而另外两个改进的算法得到的近似解满足MVAE问题的强近似最优性条件。对于给定的精度∈∈(0,1),四个改进的算法得到近似求解MVAE问题的计算复杂度和核心集大小分别为O(mn3/e)和O(n2/∈),它们改进了之前算法近似求解MVAE问题的计算复杂度O(mn3/e)和核心集结果O(n4/∈)。改进算法得到的结果是当前近似求解MVAE问题的最好的理论结果,也是与近似求解MVEE问题的理论结果相一致。数值实验结果也同样表明了满足强近似最优性条件的改进算法对于求解大规模数据集并具有高精度的MVAE问题的有效性。