本文主要利用变分方法来研究几类非线性椭圆型方程组的解的相关性质。第一章，主要阐述本文所讨论问题的背景及研究现状，并简要介绍本文的主要工作。第二章，首先确立以下非线性椭圆型方程组｛-△u+λu=μ1|u|2pu+β1|v|q1|u|p1-1u,x∈Ω,-△v+λv=μ2|v|2pv+β2|u|q2|v|p2-1v，x∈Ω，u=v=0， x∈(6)Ω，的解与它所对应的单个椭圆型问题的解之间的一个关系，其中λ∈R，βi＞0，μi＜0，qi＞0，l＜pi+qi=2p+1，(i=1，2），Ω(c) RN(N≥1)既可以是一个有界区域也可以是一个无界区域.然后利用这个关系和单个椭圆型方程问题的解的性质，我们得到上述非线性椭圆型方程组经典向量解的存在性、非存在性以及唯一性等一些结果。第三章，研究如下分数阶非线性Schr(o)dinger方程组（-△）su+u=μ1|u|2p-2u+β|v|p|u|p-2u，x∈RN，(-△)sv+v=μ2|v|2p-2v+β|u|p|v|p-2v，x∈RN，其中，0＜s＜1，μ1＞0，μ2＞0，β∈R是一个耦合常数和1＜p＜2s*/2.这里的2s*定义如下:当N≤2s，2s*=+∞以及当N＞2s，2s*=2N/（N-2s）.我们证明当μ1，μ2，p，β满足一定的条件时，上述方程组存在非退化的成比例的正的向量解.同时，我们也证明了在某些条件下极小能量向量解一定是成比例的且是唯一的。第四章，考虑如下耦合的分数阶非线性Schr(o)dinger方程组:｛(-△)su+P(x)u=μ1|u|2p-2u+β|v|p|u|p-2u,x∈RN,（-△）sv+ Q(x)v=μ2|v|2p-2v+β|u|p|v|p-2v,x∈RN,u，v∈Hs(RN)，这里，N≥2，0＜s＜1，1＜p＜N/N-2s，μ1＞0，μ2＞0和β∈R是一个耦合常数.我们证明当P(x），Q(x)，p和β满足一定的条件时，方程组有无穷多个非径向对称的正的多峰解。更准确地说，当P(x）和Q(x）在无穷远处满足某些代数衰减时，我们既为吸引情形的方程组构造无穷多个非径向对称的同步正多峰解，又为排斥情形的方程组构造了无穷多个非径向对称分离正多峰解。第五章，研究以下M耦合半线性椭圆型方程组｛-△ui+λui=M∑j=1kij qij/p+1|uj|pij|ui|qij-2ui,x∈Ω,ui∈H10(Ω)，i=1，2，…，M，的极小能量解。我们把Correia在文献[21]中对极小能量解的刻画结果以及在文献[22]中对极小能量解的部分刻画结果推广到更加一般的情形。更加重要的是，我们也给出了一种新的使得寻找一个极小能量解或者检验一个解是否是极小能量解更加方便的刻画.同时，我们也得到了一个关于极小能量解的个数的结果。