局部单叶的解析函数的对数导数和Schwarz导数都是单复变几何函数论的重要研究对象,在拟共形Teichmuller理论和复动力系统中都有重要应用.本世纪以来,局部单叶调和函数的Schwarz导数与低维流形的几何与拓扑性质的关系,已成为单复变几何函数论的研究热点之一,许多学者给出了相关定义并进行了相应的研究,并且得到了很多好的研究结果.本文重新定义了平面调和映照的对数导数和Schwarz导数,并研究了调和映照新的对数导数和Schwarz导数的一些性质.对于这重新定义的平面调和映照的对数导数,主要讨论了它与John区域之间的一些关系,并且给出了利用平面调和映照的对数导数判定径向John区域的两个充分条件以及两个必要条件.至于新定义的平面调和映照的Schwarz导数,除了研究它的性质之外,主要是对单位圆盘到任意正多边形上的平面调和映照的Schwarz免导数的范数进行估计.本文共分三章:第一章,绪论.在第一小节,我们先介绍Schwarz导数的发展历程,然后介绍了平面调和映照的Schwarz导数的两种定义.起初,Chuaqui,Duren和Osgood给出了一种平面调和映照的Schwarz导数定义.这种定义要求调和映照的伸缩商为解析函数,但是这种定义保证了对应的高斯曲率小于等于零,这就保证了该调和映照可以提升至极小曲面上去.后来,Hernandez和Martin利用雅可比行列式给出了另一种平面调和映照的Schwarz导数定义.这种定义不要求伸缩商为解析函数,但是对应的高斯曲率大于等于零,这就不能保证该调和映照可以提升到极小曲面上去.在第三章,我们给出了平面调和映照的新的Schwarz导数定义,新定义的Schwarz导数也不要求伸缩商为解析函数,但是对应的高斯曲率小于等于零,这就保证了对应的调和映照可以提升至极小曲面.在这一章第二三小节,我们主要分别介绍了解析函数的Schwarz和对数导数,及其基本性质和相关结论.第二章,平面调和映照的对数导数及其范数.在这一章中,首先介绍了平面调和映照的新的对数导数的定义,即Pf=Ph+ωω’/1+|ω|2,其中,Ph为解析函数h的对数导数.其次,研究了平面调和映照的对数导数的性质并且对它的范数进行估计.此外,研究了新定义的对数导数的一些应用,以及John区域的一些基本性质和理论,并利用对数导数给出判定John区域的两个充分条件与两个必要条件.第三章,平面调和映照的Schwarz导数及其范数.在这一章中,给出了平面调和映照的新的Schwarz导数与范数的定义,即:Sf=Sh+ω/1+|ω|2(ω"-ω’h"/h’)-3/2(ω’ω/1+|ω|2)2,其中Sh为解析函数h导数定义,ω为调和映照f的伸缩商.讨论了关于这个新的Schwarz导数和范数的一些性质.最后证明了单位圆盘到任意正多边形上的平面调和映照的Schwarz导数的范数||Sf||≤8/3.