【摘 要】
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设Mn是复数域C上n×n(n≥2)矩阵构成的复线性空间，Hn是复数域C上，n×n自共轭矩阵构成的实线性空间，ω(A)表示A∈Mn的数值半径，则(Mn，ω(·))(以下简记为Mn)成一Banach空间，且其单位
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设Mn是复数域C上n×n(n≥2)矩阵构成的复线性空间，Hn是复数域C上，n×n自共轭矩阵构成的实线性空间，ω(A)表示A∈Mn的数值半径，则(Mn，ω(·))(以下简记为Mn)成一Banach空间，且其单位球面为S(Mn)={A∈Mn：ω(A)=1}。称φ：Mn→Mn(未必线性)为数值半径等距，如果ω(φ(A)-φ(B))=ω(A-B)对所有的A，B∈Mn都成立。全篇文章主要讨论了S(Mn)→S(Mn)上满数值半径等距的性质以及S(Hn)→S(Hn)上满数值半径等距延拓问题。全篇文章组织如下：
第一章，对Mn上线性保持问题(LPP)和Banach空间单位球面上的等距延拓问题(Tingley问题)的历史沿革和重要事件进行了回顾。
第二章，通过数值半径诱导的距离，给出了从Mn到C(S(Cn))(其中S(Cn)={x∈Cn：‖x‖=1}表示Cn的单位球面)的闭线性子空间的等距同构映射A→fA为fA(x)=x*Ax，()x∈S(Cn)，A∈Mn。
第三章，讨论了S(Mn)→S(Mn)上满数值半径等距的性质。我们证明了，如果φ：S(Mn)→S(Mn)为满数值半径等距，且对任意的α，β∈R，α2+β2=1，有φ(αI+βiI)=αφ(I)+βφ(iI)，则W(φ(A))=W(μA)对任意的A∈S(Mn)都成立，其中μ为某一模为一的复数。而且我们通过考虑Hn共轭空间的单位球面S((Hn)*)来研究满数值半径等距φ：S(Hn)→S(Hn)的实线性延拓问题。
第四章，提出了未解决问题。满数值半径等距φ：S(Hn)→S(Hn)是否一定可以实线性延拓至全空间Hn上的数值半径等距?
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