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设正整数q≥3,对于每一个固定的正整数γ和整数α,我们定义γ次高斯和如下:其中e(y)=e2πiy.
本文主要研究了三次高斯和G(α,3,q)=∑qb=1e(ab3/q)及其均值性质,并利用特征和估计给出了三次高斯和的2k次均值的一个精确计算公式,即对于正整数q=3βq1,其中整数β≥0,q1=∏ri=1pαii(pi为不同的素数,pi≠3,αi为非负整数),我们给出了∑qa=1｜∑qb=1e(ab3/q)｜2k的一个精确计算公式.
首先,我们给出q=pα(p为素数且p≠3,α为正整数)时,∑paa=1｜∑pab=1e(ab3/pa)｜2k的计算公式,之后,我们又讨论了q=3a(a为正整数)的情形,得到∑3aa=1｜∑3ab=1e(ab3/3a)｜2k的计算公式.最后,我们利用中国剩余定理和∑qa=1｜∑qb=1e(ab3/q)｜2k的可乘性得出三次高斯和的2k次均值公式.