区组大小为3×2的分裂3-设计的存在谱

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分裂t-设计是Huber最近在研究最优(t-1)-重安全分裂认证码时引进的概念,设υ,u,k,λ,t为给定的正整数,其中t≤u,uk≤υ,则分裂t-设计,也即t-(υ,u×k,λ)分裂设计,是一个二元组(X,Β),满足如下条件:(1)X为υ元集(称为点集),(2)Β为X的uκ-子集(称为区组)的集合,使得对任意B∈Β,均可表示成u个长为κ的互不相交的子区组的并:B=B1∪B2∪…∪Bu,(3)X中任一t-子集{x1,x2,…,xt}恰好包含在λ个区组B=B1∪B2∪…∪Bu中,且X1∈Bi1,X2∈Bi2,…,xt∈Bit(i1,i2,…,it互不相同).Liang和Du[LiangM.andDuB.,Anewclassofsplitting3-designs,Des.CodesCryptogr.,2011,60,283-290]以及Chee,Zhang和Zhang[CheeY.M.,ZhangX.andZhangH.,Infinitefamiliesofoptimalsplittingauthenticationcodessecureagainstspoofingattacksofhigherorder,Adv.Math.Commun.,2011,5,59-68]分别给出了3-(υ,3×2,1)分裂设计存在的充分必要条件.本文将完全确定出3-(υ,3×2,λ)分裂设计的存在谱,即:(1)λυ(υ-1)(υ-2)≡0(mod48),(2)λ(υ-1)(υ-2)≡0(mod8),(3)λ(υ-2)≡0(mod2),(4)υ≥6。
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