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最佳非线性函数即Bent函数和完全非线性函数分别是抵抗线性密码攻击和差分密码攻击能力最强的密码函数,故其在密码学中扮演着非常重要的角色。而且,最佳非线性函数在编码理论、序列设计和组合理论等领域中亦有重要的应用。本论文的第一个主要研究内容是Bent函数的构造。基于环上的二次型理论和线性化方程途径,本文首先构造出几类新的二次广义布尔Bent函数。结合布尔Bent函数与广义布尔Bent函数之间的关系并将构造广义布尔Bent函数的方法应用于奇特征域中,本文相继得到新的二次布尔Bent函数和二次p-元Bent函数,其中p是-奇素数。而对于高次Bent函数,本文着重研究了具有最佳代数次数的Dillon型Bent函数和Niho型Bent函数。通过对有限域中某些部分指数和的讨论,本文成功刻画出几类新的Dillon型布尔Bent函数和Dillon型p-元Bent函数,并推广了部分已知结果。将研究Dillon型Bent函数的方法运用在Niho型函数上,本文推广了偶特征域中Leander-Kholosha类Niho型Bent函数的结论,并给出了其Bent性的一个简洁的证明。同时,本文证明了所考察的Niho型函数在奇特征域中具有四值Walsh谱且确定了其谱值分布。本论文的第二个主要研究内容是利用完全非线性函数和几乎完全非线性函数构造最佳循环码。通过利用有限域上低次多项式的因式分解以及不可约多项式次数与其对应方程解之间的关系,本论文成功解决了由Ding和Helleseth提出的一个关于最佳三元单纠错循环码的公开问题。借助于有限域上的二次特征,运用同样的方法,对于正整数m,本论文得到了四类新的参数为[3m-1,3m-2m-1,4]的最佳三元单纠错循环码。更进一步地,通过利用完全非线性函数的性质,本论文亦构造出两类新的参数为[3m-1,3m-2m-2,5]的最佳三元双纠错循环码。而且,本论文亦考虑了上述所得最佳循环码的覆盖半径及其对偶码的重量分布。然而,本论文仅得到部分相关结果,目前仍有较多问题尚未解决。本论文的第三个主要研究内容是利用广义布尔Bent函数和高非线性Gold函数研究最佳或几乎最佳四元序列集。借助于环上的二次型理论和广义布尔Bent函数的性质,本论文考察了环上一类指数和的性质进而确定了两类最佳序列集的精确相关分布。而且,基于环上二次型理论,本文利用统一的方法得到了一类已知的最佳四元序列集和一类新的低相关四元序列集。另一方面,通过对伽罗华环上Gold函数性质的考察,本论文确定了四元Gold序列集的精确相关分布。而且,依据四元序列与二元序列之间的关系,本文确定了四元Gold序列集的MSB序列的最大非平凡相关值以及四元Gold序列集的Gray序列的精确相关分布。