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本论文主要研究第二类Predholm积分方程数值解的超收敛算法和具有最佳收敛性的第二类强奇异积分方程的小波Petrov-Galerkin快速算法．全文共分五章：第二章，构造了第二类积分方程全离散的多投影算法（Multi-Projection Methods，简写为M-Projection Methods）．多投影算法主要是利用算子高低频分解中与低频相关的块算子组合作为原算子的逼近算子，给出具有高超收敛性的投影方法．本章构造一套便于理解和应用的全离散多投影算法的抽象理论框架，同时，给出全离散M-Galerkin方法和全离散M-配置法，并证明其具有超收敛性．同时，通过数值算例来说明理论的正确性．第三章，给出了第二类积分方程全离散多投影法的迭代解的误差渐近展开及其Richard-son外推法．本章证明了当全离散多投影算法中所采用的数值积分公式的精度足够高时，迭代解误差渐近展开首项为h4k（h为剖分的长度，k-1为逼近子空间分片多项式的阶数），后一项比前一项的阶数高两阶，直到h7k项．然后利用Richardson外推技术，构造新的逼近，每次外推可提高逼近解的精度两阶．第四章，针对多投影算法，退化核方法和Galerkin方法，配置法等算法，构造一种新的迭代算法，并证明该算法每迭代一次，都能增加一定的超收敛阶，而增加的计算量相对地少．本章最后通过四个算例说明算法的正确性．第五章，通过构造一组具有半双正交性，小支集性和高阶消失性质的小波基底，给出适用于强奇异积分方程的小波Petrov-Galerkin快速算法，证明该算法具有最佳收敛阶，计算复杂度为几乎最佳，条件数有界．