【摘 要】
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分数阶微分是应用数学的一个重要领域,它是整数阶微分和导数的推广.1695年,它首次出现在L’Hosptial在与Leibniz的通信中.最近四十年,它已经在数学、物理、反常扩散及材料科
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分数阶微分是应用数学的一个重要领域,它是整数阶微分和导数的推广.1695年,它首次出现在L’Hosptial在与Leibniz的通信中.最近四十年,它已经在数学、物理、反常扩散及材料科学等领域得到了广泛应用.目前,学术界流行的分数阶导数定义不止一种.其中最经典的是Liouville-Riemann和Caputo分数阶积分与导数.分数阶微分方程的理论研究也主要围绕这两种导数展开.同时,与上述两类导数有关的概念也在应用中得到了发展.其中,tempered型分数阶导数是最近引入的一类导数,含有此类导数的分数阶微分方程目前已成为分数阶微分方程理论研究与应用的重要课题之一.本文主要研究C aputo型tempered分数阶微分方程初值问题的存在性和稳定性.全文共分为五章.第一章介绍Caputo型tempered分数阶微分方程的研究背景和现状,并概述本文的主要工作和结果.第二章介绍文中常用的符号、基本概念及相关引理.在Caputo型tempered分数阶微分方程的理论框架下,第三章在绝对连续函数空间中研究解的Lyapunov稳定性.首先建立比较原理与复合函数分数阶导数不等式,在此基础上,将Lyapunov第二方法推广到tempered分数阶微分方程,得到有界解全局存在的充分条件并建立了解渐近稳定的判据.第四章研究连续函数空间中解的渐近性.首先建立比较原理,然后利用该原理得到解曲线分隔的充分条件.最后分别利用比较原理与解的分隔性以及Mittage-Leffler函数性质与Gronwall不等式讨论解的渐近性.在第三章和第四章的基础上,第五章研究Caputo型tempered分数阶微分方程初值问题解的Ulam-Hyer稳定性.利用Gronwall不等式以及不等式技巧,建立了初值问题在有界和无界区间上解的Ulam-Hyer稳定的充分条件.在Caputo型tempered分数阶微分方程的理论框架下,本文所得主要结果都是新的。
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