Gauss超几何函数F(a,b;c,x)、完全椭圆积分、广义Gr(o)tzsch环函数μa(r)以及与其相关的其他特殊函数在数论、拟共形映射、几何学等许多数学领域、某些其他学科及工程技术中有着广泛而重要的应用。本文通过深入研究这些特殊函数与μα(γ)、Ψκ(α,γ)、λ(α,K)和ηκ(α,t)的分析性质,建立了一些精确不等式,运用这些结果,改进相关特殊函数已有的界。此外,加强了显式拟共形Schwarz引理和广义Raimanujan模方程解的估计。　　 本论文可以分为四章:　　 在第一章中,主要介绍了本文的研究背景,并引入本文所涉及的一些概念、记号和已有结果。　　 在第二章中,首先,我们研究了经典Γ-函数、Ψ-函数的单调性和凹凸性,进一步获得拟共形映射中重要“常数”的不等式。然后,否定了一个关于Γ-函数几何凹凸性的猜测,并给出了其完整的解答。　　 在第三章中,首先,研究了广义椭圆积分κα(γ)、εα(γ)的一些分析性质。然后,通过研究广义Gr(o)tzsch环函数μα(γ)与一些初等函数组合单调性质,改进μα(γ)的由无穷乘积表示的界以及μ(γ)与μα(γ)之间关系的严格不等式,进一步得到广义Hersch-Plfuger偏差函数ψ1/K(α,γ)新的下界。　　 在第四章中,主要研究了由广义Ramanujan模方程的解定义的广义Hersch-Pfluger偏差函数ψK(α,γ)和广义Aged偏差函数ηK(α,t)的一些分析性质,获得了其严格不等式。