【摘 要】
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图的谱理论是图论研究的一个非常活跃的领域,它在多种学科中有广泛的应用.在图谱理论中,为了研究图的性质人们引入了各种矩阵,如图的邻接矩阵,关联矩阵,Laplacian矩阵,以及Q矩阵等.在这个研究过程中,主要是想通过对这些矩阵的特征值等代数性质的刻画来反应图的结构性质.在提到的矩阵中,图的邻接矩阵和Laplacian矩阵是最重要的.而对于图的邻接矩阵特征值和Laplacian矩阵特征值,研究最多的就
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图的谱理论是图论研究的一个非常活跃的领域,它在多种学科中有广泛的应用.在图谱理论中,为了研究图的性质人们引入了各种矩阵,如图的邻接矩阵,关联矩阵,Laplacian矩阵,以及Q矩阵等.在这个研究过程中,主要是想通过对这些矩阵的特征值等代数性质的刻画来反应图的结构性质.在提到的矩阵中,图的邻接矩阵和Laplacian矩阵是最重要的.而对于图的邻接矩阵特征值和Laplacian矩阵特征值,研究最多的就是它们的最大特征值,也就是图的邻接谱半径和Laplacian谱半径.到目前为止,关于图的邻接谱半径和Laplacian谱半径的界的结果相对较多（文献[1]中总结了2005年以前的关于Laplacian谱半径的界的相关结果,[2]和[3]等文献中还有相关结果）.关于给定某些参数求某一图类的谱半径最大的图这方面的内容相对较少.但近几年来这方面内容越来越受到重视,并且涉及的参数也越来越多,如图的点数,边数,度序列,直径,围长,最大度,最小度,悬挂点数,割边数,基本圈数等等.在这方面问题的研究过程中通过刻画不同图类的极图,研究这些不同图类极图的性质,从而研究图的整体结构和相关代数性质.本文就是研究了给定点数和边数的连通二部图,关于给定点数和边数的连通图谱半径的问题已经有了研究结果,在本文中主要研究的是这一图类中的二部图Laplacian谱半径最大的图的相关性质.并且决定了当图的点数和边数有关系扎-1<m<2（n-2）时的这一图类中的Laplacian谱半径最大的图.主要内容如下：在第一章引言中,我们给出了图谱的有关定义,符号及记号,并且回顾了图谱理论的研究历史及现状.我们也给出图的拉普拉斯谱的相关概念,列举了前人的一些关于图的邻接谱半径,拉普拉斯谱半径的研究成果.第二章分为三节,在这篇文章中我们用B（n,m）表示给定点数为│V│=n且边数为│E│=m的连通二部图.第一节我们刻画了这类图的拉普拉斯谱半径达到最大时的图（称为最大图G）的相关性质：即G=（V1,V2）一定满足极大条件：当u,v∈Vi （i=1,2）时,N（u）（?）N（v）或N（v）（?）N（u）成立,并且在本文中我们用B*（n,m）表示B（n,m）中满足极大条件的所有图；G的直径不超过3；如果G的某条边包含在一个圈中,那么它一定是包含在某个4圈中；对于独立集Vi（i=1,2）中的点u,v,当d（u）≥d（v）时,u,v的邻域有包含关系N（u）（?）N（v）,并且特别的有V1（V2）中度数最大的点的邻域是V2（或V1）.第二节我们给出了B*（n,m）中图G*的中心点的概念,并且分别给出了图G*的独立集V1中有和没有唯一中心点时不同的极图结构.第三节我们确定了图G*的独立集V1中有和没有唯一中心点时不同的极图的相关性质.第三章分为三节,第一节中我们研究了当n-1<m<2（n-2）时B*（n,m）中极图的结构；第二节中我们得到当n-1<m<2（n-2）时B*（n,m）中最大图是（?）.第三节中给出了本文中没有解决的问题.
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