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同态的稳定性问题最早是1940年S.M.Ulam在Wisconsin大学的数学大会上提出的.1941.年,D.H.Hyers在文[2]中考虑了逼近可加映射的情况:设E1,E2是Banach空间,f:E1→E2为一个映射,满足不等式
||f(x=y)-f(x)-f(y)||≤ε,()x,y∈E1.则存在唯一的可加映射L:E1→E2满足||f(x)-L(x)||≤ε并且()x∈E1,
L(x)=lim(n→∞)f(2nx／2n)
该结果没有考虑连续性,但若f(tx)对每个固定的x∈E1关于实变量t是连续的,则L是线性的；若f在单个属于E1的点上是连续的,则L:E1→E2也是连续的.1978年,Th.M.Rassias在文[11]中通过用(||x||p+||y||p),p∈[0,1)控制Cauchy差将条件弱化,从而成功的推广了Hyers定理.后来许多数学家对各种多类泛函方程的稳定性进行了研究,得到了一系列的成果.这些稳定性的成果在随机分析、金融数学和精算数学等领域中均有应用.
本文分四章:
第一章研究了在C*-Ternary代数中Cauchy-Jensen泛函方程
Cλf(x,y,z)=2f(λx+λy／2+λz)-λf(x)-λf(y)-2λf(z)(()λ∈T1={μ∈C:|μ|=1),()x,y,x∈X)的同态的模糊稳定性.
第二章研究了逼近二次同态问题,针对f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)这个二次方程给出了二次同态稳定性的一些定理及推论.
第三章研究了在JC*-代数中的n-Jordan同态,针对Cauchy-Jensen泛函方程将Jordan同态推广到n-Jordan同态并研究了其稳定性.
第四章研究了在Lie C*-代数中的n-Lie同态和n-Lie导子,针对Cauchy-Jensen泛函方程分别讨论了它们的稳定性.