本文分为两部分.第一部分在丛随机动力系统的框架下定义了平均维数的概念;第二部分则证明了随机情况下乘积系统所成立的相对尾熵(tail熵)的变分原理.　　具体来说，给定丛ε上的随机动力系统T，我们定义了其平均拓扑维数为mdim(ε，T)=supα∈D∫(D)(α,T,ω)dP,其中D为某一特定的随机开覆盖类，(D)（α，T，ω）为1/n(D)（αn(ω））的P-几乎处处极限.我们还引入了度量平均维数，并证明了度量平均维数不小于平均拓扑维数.另一方面，我们将小集，小边界性质(the small boundary property)的概念也推广到了随机情形，并证明了对随机闭集E∈ε，有∫ocap(E,ω)dP=sup{μ(E):μ∈IP(ε)},以及具有小边界性的丛随机动力系统具有零平均维数.　　对乘积丛H=(g)×ε上的系统S×T，记其斜积映射为Γ，将(g)上自然的可测结构拉回至H得到的σ-代数记为DH.我们证明了关于拓扑尾熵的变分不等式h*m（Γ|DH）≤h*(T).对于与自身作乘积的系统，我们手工构造了极大的不变测度来达到拓扑尾熵，从而得到变分原理max{hμ*(Θ(2)| Aε(2)):μ∈IP(ε)}=h*（T）.