本文研究半线性抛物方程的初值问题和任意维数的神经传播型方程的初边值问题．这两类方程从表面上看是不同的两个方程，但实际上，若把半线性抛物方程两边同时对t求导，就得到神经传播型方程． 本文利用位势井族研究了半线性抛物方程的初值问题．首先，引入一族位势井和对应的集合，并给出这族位势井的性质．其次，利用这族位势井得到了解的不变集合和真空隔离现象．第三，得到了解的整体存在性与不存在性的一个门槛结果．第四，证明了解的有限时间Blow—up．最后，讨论了解的渐进性． 本文还利用Galerkin方法结合能量估计研究了任意维数的神经传播型方程初边值问题整体强解的存在性．证明了当n≤3时，对非线性项在某些条件下，问题能得到整体时间L∞强解．当n≥4时，如果f∈C，g∈C 在f，g下方有界，f，g满足一定的增长条件下，问题能得到整体时间L2强解．在n≥4时，引进了一种新的整体强解的概念．