【摘 要】
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在许多科学计算和工程应用领域中,往往需要进行求解一类大型稀疏线性方程组,这类方程组由于其特殊的结构,被称为鞍点问题.例如计算流体动力学、约束优化、椭圆偏微分方程的混合有限元近似等.因此,对该类鞍点问题进行快速而有效的求解成为数学研究中的一个热点问题.由于该类线性方程组的规模巨大,且由其系数矩阵的分块结构和特性,故在实际计算中,往往采用高效(计算速度快,所需存储量小)的迭代法来代替直接法.本文主要考
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在许多科学计算和工程应用领域中,往往需要进行求解一类大型稀疏线性方程组,这类方程组由于其特殊的结构,被称为鞍点问题.例如计算流体动力学、约束优化、椭圆偏微分方程的混合有限元近似等.因此,对该类鞍点问题进行快速而有效的求解成为数学研究中的一个热点问题.由于该类线性方程组的规模巨大,且由其系数矩阵的分块结构和特性,故在实际计算中,往往采用高效(计算速度快,所需存储量小)的迭代法来代替直接法.本文主要考虑的是非Hermitian非奇异鞍点问题以及广义非Hermitian奇异鞍点问题.旨在探讨对系数矩阵的不同分裂所构成的不同迭代法的性质,并且还讨论了相应情形下用预处理子进行加速收敛的效果.本文的主要内容有:第1章,绪论部分,主要介绍了鞍点问题的发展及其研究现状.除此之外,还引入了本文所需要的一些预备知识,给出了本文主要内容的安排.第2章,针对非Hermitian非奇异鞍点问题,对原有的Uzawa型方法进行了推广,并充分利用对非 Hermitian 矩阵的 HSS(Hermitian and skew-Hermitian Split-ting)迭代法,得到了广义的Uzawa型迭代方法.通过选取不同的矩阵P以及参数α和τ值,使得数值实验反映出较好的效果.第3章,针对广义非Hermitian奇异鞍点问题,充分利用GHSS(Generalized Hermitian and skew-Hermitian Splitting)迭代法进行求解,并且分析了其半收敛性以及预处理矩阵的特征值分布.通过与RS方法的比较,GHSS迭代方法在适当的选取预处理子的时候有相对较快的收敛速度.第4章,建立求解非对称鞍点问题的BiPSS(Bi-Parameters Single Step)迭代法,将非对称矩阵的HSS迭代法运用到求解非对称鞍点问题中的(1,1)块子矩阵,同时利用矩阵的广义移位技巧(选取两个不同的参数α,β),从而得到求解非对称鞍点问题的一类双参数单步迭代方法.第5章,对本文的研究工作给予总结,并提出了未来研究工作的设想和尚待解决的问题.
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