【摘 要】
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本论文的主要内容包括三部分:（1）非定常对流扩散方程保正格式的构造及其解的存在性证明;（2）含守恒型非线性能量时间导数项的扩散问题全隐差分格式的数值分析及平衡辐射扩散方程的非线性迭代方法;（3）非线性扩散问题全隐有限体积格式分析及其在基于Saha电离模型的平衡辐射扩散方程中的应用.在第一部分中,发展了非定常对流扩散方程的非线性保正格式.通过结合采用引入网格边中点辅助未知量、离散通量非线性系数光滑化
【基金项目】
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国家自然科学基金项目（批准号:11871112,11971069,11971071和U1630249）；
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本论文的主要内容包括三部分:（1）非定常对流扩散方程保正格式的构造及其解的存在性证明;（2）含守恒型非线性能量时间导数项的扩散问题全隐差分格式的数值分析及平衡辐射扩散方程的非线性迭代方法;（3）非线性扩散问题全隐有限体积格式分析及其在基于Saha电离模型的平衡辐射扩散方程中的应用.在第一部分中,发展了非定常对流扩散方程的非线性保正格式.通过结合采用引入网格边中点辅助未知量、离散通量非线性系数光滑化处理、对流算子修正校正等技术,设计高保真且适于理论分析的保正格式.该格式为单元中心型的,能保持局部通量连续,并适用于任意星形多边形网格.我们利用Brouwer不动点定理证明了格式解的存在性.数值结果表明该格式是保正的,且具有二阶精度.在第二部分中,首先考虑含守恒型非线性能量时间导数项的扩散问题离散格式,发展了新的论证技术,克服非线性能量时间变化项带来的困难,对全隐离散差分格式给出了解的存在性、唯一性、收敛性、稳定性的严格证明.然后讨论了求解平衡辐射扩散问题全隐（FI）格式的非线性迭代方法.结合Picard因式分解迭代法PF,研究了三种新的非线性迭代方法,即Picard-Newton因式分解迭代法（PNF）,Picard-Newton迭代法（PN）和无导数的Picard-Newton因式分解迭代法（DFPNF）.利用归纳论证技术处理问题的强非线性,对四种迭代方法的基本性质进行了严格的理论分析.结果表明,它们均具有一阶时间和二阶空间收敛精度,并且保持了解的正性;PF迭代法和三种Newton型迭代法的迭代序列分别以线性和二次速度收敛于FI格式的解.数值实验验证了理论分析的结果,表明这些Newton型方法可实现有效的加速求解.在第三部分中,首先讨论了非线性扩散问题的全隐有限体积格式,通过对扩散系数加权调和平均的非线性离散扩散算子的细致估计,分析了该离散格式的相容性.运用Brouwer不动点定理证明了格式解的存在性,利用存在性给出的离散解的若干有界性估计,并利用一系列新的论证技巧,证明了格式的收敛性.然后将全隐有限体积格式应用于求解基于Saha电离模型的平衡辐射扩散方程.基于问题的特点,在迭代格式的设计中主要讨论了时间导数项的离散,将时间导数项分为两部分来考虑,给出三种迭代方法:Picard因式分解迭代+Picard迭代（PF+Picard）,Picard-Newton因式分解迭代+PN迭代（PNF+PN）,PN迭代+PN迭代（PN+PN）;对于空间导数项,采用Picard迭代.数值实验表明所构造的三种迭代格式均具有二阶空间收敛精度.
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