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本文主要研究有限的无向简单图的指标(谱半径)及其他两个化学指标：Hosoya指标和Merrifield-Simmons指标。
图谱理论是图论中的一个非常活跃的重要分支，广泛应用在量子化学、物理、计算机科学等领域中。令A(G)是图G的邻接矩阵。图G的谱就是A(G)的谱(A(G)的全部特征值及它们的重数)。A(G)的最大特征值称为图G的指标(谱半径)，它表示为ρ(G)。在1986年，Brualdi和Solheid提出了关于谱半径的下列经典问题：
给定图类(g)，寻找(g)中所有图的谱半径的上界，并刻画达到这个最大谱半径的极图。
迄今为止不同图类(g)中的最大谱半径极图可以在最后引用的文献中找到。但遗憾的是，关于最小谱半径极图的结果要比最大谱半径的少的多。最近的一些结果可在最后引用的文献中找到。令(g)αn是独立数为α的n点连通图的集合。我们找到了(g)αn中具有最大谱半径的极图，并得到了对应的谱半径的值。还刻画了α∈{1，「n/2」,「n/2」，「n/2」+1，n-2，n-1}时具有最小谱半径的极图。我们用(g)n,k表示具有k个悬挂点的n点连通图的集合。在本文中我们找到了(g)n,k中具有最大谱半径的图，并刻画了k∈{1,2,,3,4，n-2，n-1｝时(g)n,k中具有最小谱半径的极图。
根据指标对图进行分类和排序是图谱理论中的—个有趣的问题，它是Cvetkovi(c)在1981年中提出的。在1970年，Smith确定了指标不超过2的所有图，Cvetkovi(c)、Doob和Gutman在1981年列出了指标在区间(2，√2+√5)中的所有图，它们都是树。特别的，在2002年，Zhang和Chen对指标在区间(2，√2+√5)的某些树进行了排序，并给出了在化学中的应用。受到Zhang和Chen的方法的启发，我们考虑集合Un(3)，这个集合是由具有唯一最大度3的所有图构成。并给出了Un(3)中的图的关于指标的部分渐近完全排序，确定了Un(3)中的关于指标的极图。
作为组合化学中的两个著名指标，图G的Hosoya指标和Merrifield-Simmons指标分别定义为图的包括空边集在内的对集(独立边集)总数和包括空点集在内的点独立集总数。这两个指标分别记为z(G)和i(G)。Hosoya指标在1971年由Hosoya引入。自最先引入开始，Hosoya指标已引起了很多学者的注意。而且Hosoya指标在研究某些碳水化合物的分子结构与物理、化学性质的关系时起了重要的作用。Merrifield-Simmons指标在1989年由Merrifield和Simmons引入。Merrifield-Simmons指标的很多数学性质的细节可以在最后引用的参考文献中找到。特别的，对于n个点的路Pn，有i(Pn)=Fn+2，其中Fn+2表示第(n+2)个Fibonacci数。这也许是很多作者把Merrifield-Simmons指标称为图的Fibonacci数的原因。不过Merrifield-Simmons指标在QSPR和QSAR上的应用的研究却少得多。已经证明Merrifield-Simmons指标与沸点有关。
组合化学中的—个重要方向是在给定图类中找到关于Hosoya指标或Merrifield-Simmons指标的极(极大或极小)图。用Fn,k和Wn,ω分别表示染色数为k的n点连通图的集合和团数为ω的n点连通图的集合。本文中我们证明了Turán图是Fn，k中具有极大Hosoya指标和极小Merrifield-Simmons指标的唯一图，还确定了Wn，ω中具有极小Hosoya指标和极大Merrifield-Simmons指标的唯一图，提出了一个与Dn，k和Wn,ω，中的极图相关的问题。2007年Wagner给出了具有极大Hosoya指标和极小Merrifield-Simmons指标的最大度确定的极树。2008年Deng分别刻画了具有极大Hosoya指标和极小Merrifield-Simmons指标的双圈图的极图。令U(n，△)是最大度为△的n阶连通单圈图的集合。用U0(n，3)表示把路Pn-k+1的一个悬挂点和圈Ck的一点等同为一个点得到的所有图的集合。n阶连通单圈图的集合写作U(n)。对△的所有值，我们分别刻画了u(n，△)中具有极大Hosoya指标和最小Merrifield-Simmons指标的极图，并确定了它们的Hosoya指标和Merrifield-Simmons指标。而且，我们分别给出了U0(n，3)中所有图的关于Hosoya指标和Merrifield-Simmons指标的完全排序。本文还分别确定了U(n)中的第二到第三小Merrifield-Simmons指标和第三大Hosoya指标。
2007年Yu和Lv确定了所有具有k个悬挂点n点树中具有极小Hosoya指标和极大Merrifield-Simmons指标的极树。我们得到了(g)n,k中具有极大Hosoya指标和极小Merrifield-Simmons指标的极图，并指出(g)n,k中具有极小Hosoya指标和极大Merrifield-Simmons指标的极图一定不是树。对于某些特殊的k，我们确定了(g)n,k中具有极小Hosoya指标和极大Merrifield-Simmons指标的图。