低秩优化问题在统计、控制、系统识别、信号与图像处理、金融以及量子计算等诸多领域中有着极其广泛的应用.本论文从秩函数的变分刻画入手,将这类带有组合性的优化问题等价转化为具有拟双线性结构且局部Lipschitz连续的优化模型,以此设计并研究了求解一般秩极小化问题和秩正则极小化问题的多阶段凸松弛法.首先,论文基于秩函数的变分刻画,分别将秩极小化问题和秩正则极小化问题等价表示为广义矩阵互补约束的数学规划问题.为了克服非凸矩阵互补约束给其求解带来的困难,论文研究了将其直接加到目标函数中诱导的罚问题的精确性,即证明了当罚参数大于某个阂值之后,罚问题与广义矩阵互补约束的数学规划问题有相同全局最优解集.虽然精确罚问题的目标函数仍然非凸,但是具有拟双线性结构和局部Lipschitz连续性,为设计求解低秩优化问题的凸松弛方法提供了满意的非光滑优化模型.然后,就一般秩极小化问题,论文通过交替求解其等价局部Lipschitz连续优化模型提出一类多阶段凸松弛方法.这类多阶段凸松弛法每步求解一个核半范数极小化问题（半正定时退化为加权迹范数极小化问题）.对所提出的多阶段凸松弛法,论文在一个比限制同构性质更弱的限制特征值条件下,建立了每阶段最优解的Frobenius范数误差界和近似秩界,定量刻画了前后相继两阶段最优解的误差界及近似秩界的下降量,并且对半定秩极小化问题严格证明所得到的误差界比文献[53]建立的重加权迹范数凸松弛法的误差界更紧.理论分析结果表明,对具有较差限制特征值性质的线性算子,基于适当函数的两阶段凸松弛法至少可以缩减50%的核范数凸松弛法的误差界和近似秩界,而对具有较好限制特征值性质的线性算子,基于适当函数的两阶段凸松弛法可以缩减大约20%的核范数凸松弛法的误差界和近似秩界；而且,随着阶段数的增加,误差界和近似秩界的缩减率会逐渐变小,第五阶段后基本保持不变.另外,论文还藉助几类随机产生的结构低秩矩阵恢复问题对多阶段凸松弛法进行数值试验,验证了理论结果的正确性.最后,针对一般秩正则极小化问题,论文通过交替求解其（近似）等价局部Lipschitz连续优化模型提出一类多阶段凸松弛方法.此类多阶段凸松弛法每步解一个核半范数正则极小化问题（半正定时退化为加权迹范数正则极小化问题）.就谱范数球约束的秩正则最小二乘问题,论文在一定限制特征值条件下建立了每阶段最优解的Frobenius范数误差界及近似秩界,并定量刻画了前后相继两阶段最优解的误差界及近似秩界的下降量.理论分析结果表明,无论对具有较差还是较好限制特征值性质的线性算子,基于适当函数的两阶段凸松弛法至少可以缩减50%的核范数凸松弛法的误差界和近似秩界.同样,随着阶段数的增加,误差界的缩减幅度逐渐变小,第五阶段后基本保持不变.另外,论文也将该类多阶段凸松弛法应用到随机产生的低秩矩阵恢复问题上进行数值试验,验证了理论结果的正确性并证实了该方法在缩减解的误差方面的优势.据我们所知,就一般非半定矩阵秩极小化问题和秩正则最小二乘问题,本论文基于低秩优化问题的等价局部Lipschitz连续优化模型提出的多阶段凸松弛法,是第一个既有理论保证又能大幅缩减核范数凸松弛法误差界的多阶段凸松弛方法;对半定秩极小化问题,所得到的理论结果加强并推广了文献[53]为重加权迹范数极小化法建立的结果.