本文主要研究了用Majorana星表示一维多能带系统的拓扑态和Berry相,一维拓扑系统和准周期系统的淬火动力学,以及耗散系统中的拓扑态。在第一章中,我们首先简要介绍了拓扑物态的发现,以及拓扑分类的理念和拓扑不变量的计算;然后介绍了动力学量子相变的理论和实验,并将其与平衡态相变作比较;最后介绍了利用三次量子化的方法求解包含线性Lindblad算符时的无相互作用费米子主方程。在第二章中,我们利用Majorana星表示研究了多能带系统的拓扑态。我们主要以具有时间反演对称性和空间反演对称性的模型为例,分析了对称性对Majorana星分布的限制,并且证明了整个能带的Berry相就等于每个Majorana星Berry相之和。如果能带拓扑是非平庸的,Majorana星在Bloch球上的轨迹覆盖整个赤道,如果能带拓扑是平庸的,Majorana星的轨迹则互相抵消。由于系统的拓扑性质可以由高对称点的宇称给出,我们展示了Majorana星在高对称点位置,并证明了它们的位置能够决定能带的拓扑性质。在第三章中,我们首先研究了拓扑能带系统中的淬火动力学。我们以一维二能带系统为例,指出当系统存在某些对称性时,动量空间中存在一些不动点,因此由动量和时间组成的复合流形可以约化为一系列的二维球面,而在每一个二维球面上都可以定义一个动力学的陈数。紧接着我们证明了这个动力学的拓扑不变量与初末态哈密顿量基态的拓扑不变量有着密切的关系。我们证明了对于AIII类和BDI类,由于手征对称性的存在,哈密顿量的拓扑不变量为缠绕数,则初末态缠绕数之差的绝对值是非平庸动力学陈数的个数的下界;对于D类,系统具有粒子空穴对称性,系统的拓扑变量是Pfaffian,我们只需计算第一个球面的动力学陈数,并且证明了它等于初末态哈密顿量的Pfaffian之差。此外,我们还利用超导量子比特测量了这个动力学陈数,通过态层析技术可以测量不同动量的波函数在Bloch球上的位置,最终发现当初末态在一个相中时,Bloch被完整覆盖,动力学陈数非平庸;而初末态在同一个相中时Bloch球没有被覆盖,动力学陈数平庸。在这一章中,我们还研究了AA模型的淬火动力学。首先当初末态在准周期势强度分别为零和无穷大之间淬火,我们解析计算了波函数含时演化的Loschmidt echo,它的形式为零阶贝塞尔函数,而贝塞尔函数存在一系列零点,这导致Loschmidt echo有严格的零点,这非常类似与动力学量子相变的行为,在临界时间,动力学自由能密度以对数形式发散。而当初末态哈密顿量的准周期势强度任意时,我们数值计算了波函数演化的Loschmidt echo,结果发现当且仅当初末态哈密顿量分别位于局域相或扩展相时,Loschmidt echo会在某些时间区间趋近于零点,而当初末态哈密顿量同时位于局域或扩展相时,Loschmidt echo则会在某个有限值附近振荡,且不会到达零点附近。在第四章中,我们计算了有耗散的Kitaev模型。我们考虑在Kitaev模型每个格点都加上增益与耗散,利用三次量子化的方法,将求解主方程的问题映射为求解费米子二次型的问题,我们给出刘维算符的谱,即快度谱,并且展示了边界态的存在。我们还通过计算系统的含时演化和非平衡稳态粒子数的分布,说明了这些边界态的存在将导致系统在边界处的动力学行为与内部不同,但系统的非平衡稳态不受这些边界态的影响。